Demostrar que $\sin (\sin x -x) =\sin x - x + o(x^5)$

Question

Demostrar que $\sin (\sin x -x) =\sin x - x + o(x^5)$

En la tarea que hago necesito registrar $\sin (\sin x-x)$ en una forma de tener $ax^3$ . Así que: $$\sin (\sin x -x)=\sin x -x +r(\sin x -x)=x-\frac{x^5}{6}+\frac{x^5}{120}+r(x)-x +r(\sin x -x)$$ Sé que $r(x)=o(x^5)$ y es fácil.

Sin embargo, ¿cómo demostrar que $r(\sin x -x)=o(x^5)$ ?
Traté de hacerlo pero luego lo hice: $$\frac{r(\sin x -x)}{\sin x -x}\cdot \frac{\sin x -x}{x^5}=\frac{r(\sin x -x)}{\sin x -x}\cdot(\frac{\sin x}{x}-1)\cdot \frac{1}{x^4} \rightarrow 0\cdot(1-1)\cdot(-\infty)$$ ¿Puede ayudarme cómo puedo probarlo?

Answer 1

Sería estúpido al respecto y trabajaría formalmente, en el ring $\Bbb Q[[x]]/(x^6)$ .

Ahora, en ese anillo, $\sin(x)=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$ . Permítanme escribir $g(x)=\sin(x)-x$ que es divisible por $x^3$ . Entonces $\sin(g(x))=g(x)+g(g(x))$ pero como $g(g(x))$ es divisible por $x^9$ Podemos ignorarlo. Así, en $\Bbb Q[[x]]/(x^6)$ obtenemos $\sin(\sin(x)-x)=-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$ , al igual que $\sin(x)-x$ .

Answer 2

Puede observar que $$\sin x - x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\tag{1}$$ y sustituyendo $x$ con $\sin x - x$ obtenemos $$\sin(\sin x - x) - (\sin x - x) =-\frac{(\sin x - x)^3}{6}+o((\sin x - x) ^3)$$ Utilizando $(1)$ podemos ver que los dos términos del lado derecho de la ecuación anterior son $o(x^5) $ y hemos terminado.