Sé que esto se ha preguntado aquí muchas veces, y ahora sé una manera de demostrarlo usando el primer teorema de iso en $\phi:R\to M$ .
Pero mi primera aproximación fue al revés y algo falló: intenté demostrar que $f:M\to R/I$ es iso.
Más concretamente, he definido $f(m)=f(\sum r_n m_n)=\sum r_n f(m_n):=\sum r_n+I$ donde $m_n$ están en el conjunto generador de $M$ .
Inyectabilidad: ya que $\ker f\leq M$ y $M$ simple, $\ker f=\{0\}$ o $\ker f=M$ .
Si $\ker f = M$ entonces $f(M)=I\implies R=I$ pero como $I$ es máxima, es propia: $I<R$ .
La subjetividad: $\forall r+I\in R/I,\, \exists m\in M$ s.t. $m=rx$ para que $f(m)=f(rx)=rf(x)=r+I$ , donde $x$ pertenece al conjunto generador de $M$ .
El caso es que nunca he utilizado la maximalidad de $I$ . Sólo utilicé su propiedad. No creo que la maximalidad sirva para demostrar los otros axiomas, como la linealidad o la distributividad, etc. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?
