Calcular el diferencial en un punto

Question

Debo calcular el diferencial a $f(x_1,x_2)=e^{x_1}+x_2$ en $x=(2,-1)$

Me da que el diferencial sea: $e^{x_1}dx_1+dx_2$

Estoy listo para conectar las coordenadas (sólo $x_1$ ) pero me desanima el " $dx_1$ " y " $dx_2$ ", ¿cómo los trato si sólo quiero un valor como salida?

Answer 1

Para $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ y $x\in \mathbb R^n$ se puede calcular el diferencial de $f$ en $x$ , $df_x \colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ de la siguiente manera.

Si $\nabla f$ es el gradiente de $f$ entonces $df_x$ viene dada por $$d f_{x}(v)= (\nabla f)_{x}\cdot v$$

Entonces, para $f(x_1,x_2)=e^{x_1}+x_2$ y $x=(2,-1)$ tienes que $(\nabla f)_x=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)\right)=(e^2, 1)$ . Y para cualquier $v=(v_1, v_2)\in \mathbb R^2$ , tienes que $$df_x(v)=e^2v_1+v_2.$$