Distribución de valores extremos con varianza desconocida

Question

Dejemos que $\{X_1,\ldots,X_n\}$ sea una secuencia de v.r. tal que $X_i\sim N(0,\sigma^2)$ .

En los libros de texto de la Teoría del Valor Extremo se suele afirmar que (para una elección adecuada $a_n$ y $b_n$ ) $$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sigma}\max X_i \leq a_n + b_ny\right)\rightarrow \exp(-e^{-x})$$

Mi pregunta es si también es cierto que $$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\hat\sigma}\max X_i \leq a_n + b_ny\right)\rightarrow \exp(-e^{-x})$$ donde $\hat\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2$ .

Answer 1

No pude encontrar la forma correcta de utilizar las sugerencias en los comentarios y respuestas, pero al pensar en formas de utilizar el teorema de Slutsky (sugerido por @Glen_b) se me ocurrió una prueba utilizando una bonita propiedad de la distribución normal.

Dejemos que $M_{n} = \max{X_1,\ldots,X_n}$ . Porque el $X_i\sim N(0,\sigma^2)$ tenemos

$$a_n = \sqrt{2\log n} - \frac{\log\log n + \log 4\pi}{2\sqrt{2\log n}}$$ $$b_n = \frac{1}{\sqrt{2\log n}}$$ $$\frac{M_n}{\sqrt{2\log n}} \rightarrow 1\text{ a.s. as } n\rightarrow +\infty$$ (una prueba de la última propiedad se puede encontrar en Asymptotic theory of statistics and probability por Anirban DasGupta (2008, Springer Science & Business Media) en la página 109 Ejemplo 8.13)

Ahora $$\frac{\frac{1}{\hat\sigma}M_n - a_n}{b_n} = \frac{\frac{1}{\sigma}M_n - a_n}{b_n} + \frac{(\frac{1}{\hat\sigma}-\frac{1}{\sigma})M_n}{b_n}$$

y después de algunas manipulaciones $$\frac{(\frac{1}{\hat\sigma}-\frac{1}{\sigma})M_n}{b_n} = \frac{1}{\sigma\hat\sigma}2(\log n)(\sigma -\hat\sigma)\frac{M_n}{\sqrt{2\log n}}$$ Tenemos $$\frac{1}{\sigma\hat\sigma}\rightarrow \frac{1}{\sigma^2}\text{ a.s.}$$ $$(\log n)(\sigma -\hat\sigma)\rightarrow 0\text{ in probaility}$$ $$\frac{M_n}{\sqrt{2\log n}} \rightarrow 1\text{ a.s.}$$

Y el resultado se desprende del teorema de Slutsky.

Answer 2

Sí. Recuerdo que se puede utilizar el Teorema de Convergencia Dominada para obtener que la diferencia entre esas disminuye y es dominada por otra secuencia que va a cero a medida que n va al infinito.