Teoría de los operadores : Norma de la matriz

Question

Definición de Norma : Supongamos que $A$ ser un $m\times n$ matriz. Entonces $\|A\|$ se define por : \begin{align} \|A\|= &\sup\{\|Ax\| : \|x\|=1\}\\ = &\sup\{\|Ax\| : \|x\|\leq 1\} \end{align} Estas dos definiciones son equivalentes. ¿Pero por qué? Por favor, que alguien lo explique

Answer 1

Dejemos que $\alpha = \sup\{\|Ax\| : \|x\| = 1\}$ y $\beta = \sup\{\|Ax\| : \|x\| \leq 1\}$ . Claramente, $\alpha \leq \beta$ .

Ahora, para cualquier $0\neq x \in X$ tal que $\|x\| \leq 1$ Considera que $y = x/\|x\|$ . Entonces $\|y\| = 1$ . Entonces $$ \|Ay\| \leq \alpha $$ Pero $$ \|Ay\| = \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \geq \|Ax\| $$ Por lo tanto, $\|Ax\| \leq \alpha$ lo que implica que $\beta \leq \alpha$