¿Por qué el álgebra exterior es tan omnipresente?

Question

El álgebra exterior de un espacio vectorial V parece aparecer por todas partes, como en

• la definición del producto cruzado y del determinante,
• la descripción del Grassmanniano como variedad,
• la descripción de las representaciones irreducibles de GL(V),
• la definición de las formas diferenciales en la geometría diferencial,
• la descripción de los fermiones en la supersimetría.

¿Qué principio unificador se esconde detrás de estas apariencias del álgebra exterior? (Debo mencionar que lo que realmente me interesa aquí es el significado geométrico del lema de Gessel-Viennot y, por asociación, del principio de inclusión-exclusión).

Answer 1

Una buena razón para la ubicuidad de la construcción del álgebra exterior es que tiene bonitas propiedades básicas (que si se precisan la definirán de forma única):

1. Es un functor de espacios vectoriales a álgebras (estrictamente) supercomutativas.
2. Las sumas directas se llevan a productos tensoriales de álgebras.
3. Juega bien con el cambio de base y el descenso, es decir, se pueden hacer paquetes de álgebra exterior pegando.
4. Lleva una línea a una línea impar más una línea par (utilizada con gran efecto en la respuesta de Torsten aquí - nótese el último párrafo que compara los casos exteriores con los simétricos).

Las propiedades adicionales en el caso de rango finito incluyen:

1. Existe un subfuntor determinante multiplicativo para los objetos invertibles (léase: líneas graduadas).
2. Se obtiene un álgebra de Hopf.
3. Tienes un emparejamiento "dual de Hodge" perfecto valorado en el determinante (como señaló Marc Nieper-Wißkirchen).

En cuanto a las formas en que el álgebra exterior es útil cuando el álgebra simétrica no lo es, creo que todas las aplicaciones que has enumerado giran en torno a las propiedades de rango finito -en particular, la naturaleza distinguida del determinante como un tensor unidimensional canónico. El único tensor simétrico unidimensional es el trivial, que no lleva información. Cualquier intento de hacer cosas como volúmenes, productos de copa o estrellas de Hodge requiere una orientación, que puede ser vista como un determinante (véase, por ejemplo, mi respuesta aquí ).

Como Wikipedia menciones, las álgebras exteriores satisfacen una propiedad universal: para cualquier mapa lineal de un espacio vectorial $V$ a un álgebra asociativa $A$ aterrizando en el subespacio cuadrado cero, existe un único homomorfismo de álgebra de $\bigwedge V$ a $A$ haciendo conmutar un determinado diagrama triangular. Esto da lugar a una descripción del funtor de álgebra exterior como un adjunto a la izquierda de un funtor olvidadizo de álgebras estrictamente superconmutativas. Si 2 es invertible, entonces es equivalente al funtor de álgebra simétrica con desplazamiento de paridad, pero en general, representa un funtor genuinamente diferente. En particular, el hecho de que existan determinantes en la característica 2 es una indicación de que el álgebra exterior es más importante que el álgebra simétrica desplazada.

Debo subrayar que la supersimetría es diferente de la existencia de fermiones. En resumen, los fermiones son sólo campos Impares que se transforman de cierta manera bajo las simetrías ordinarias del espaciotiempo, pero la supersimetría es la especificación de simetrías Impares adicionales del espaciotiempo. Esto es sustancialmente más exótico: las teorías que contienen partículas fermiónicas (como los electrones) pueden existir sin la supersimetría, y de hecho existieron felizmente durante unos 50 años antes de que se gestara la supersimetría.

Answer 2

Sólo responderé a la relación entre los determinantes, las formas diferenciales y el Grassmannian.

El hecho es que el determinante, hasta un signo, representa el volumen de un paralelepípedo que tiene n vectores asignados como lados. El signo está determinado por la orientación de este sólido.

En efecto, los axiomas del determinante pueden traducirse geométricamente: por ejemplo, el hecho de que el determinante desaparezca cuando dos columnas son iguales corresponde al hecho de que un sólido situado en un hiperplano tiene un volumen 0.

Tomemos ahora un mapa lineal f expresado por una matriz A: la imagen del cubo unitario es el sólido generado por las columnas de A; así que f estira los volúmenes en un factor |det(A)|, por la observación anterior.

Esta es la expresión infinitesimal de la fórmula habitual para el cambio de variables en la integral, y es la razón por la que el determinante jacobiano aparece allí. No es más que el factor infinitesimal por el que se multiplican los volúmenes. Espero que esto dé una explicación aproximada de por qué el determinante aparece en esta fórmula.

Ahora a las formas diferenciales. Supongamos que se quiere integrar una cantidad en una variedad, digamos una función. Puedes intentar integrarla en coordenadas locales, pero el resultado dependerá de las coordenadas elegidas. Así que para obtener algo bien definido necesitas una cantidad cuya expresión local cambie por el factor inverso (vale, estoy descuidando la orientación). Esto es exactamente una forma n, cuya expresión local cambia por el determinante del Jacobiano del cambio inverso de coodinadas.

Esta vaga discusión debería dar hasta ahora una idea de por qué las formas diferenciales de grado máximo son aptas para ser integradas en las variedades orientadas. Ahora elijamos una variedad M. Se pueden integrar formas k en M en k-subvariedades de M, por lo que las formas diferenciales de cualquier grado aparecen como elementos duales de subvariedades de la dimensión correspondiente. Empujando un poco esta correspondencia se explica por qué el complejo de la forma diferencial da la cohomología de M. Pero esto es un invariante topológico, por lo que tiene muchas otras construcciones.

Así que obtenemos una herramienta analítica (formas diferenciales) que describe parte de la topología de M; algo que por supuesto es digno de estudio. ¡¡¡Feeew!!! Si has llegado hasta aquí, puedes entender qué relación veo entre los determinantes y las formas diferenciales.

Como caso particular, esto también da una explicación del vínculo con el Grasmmanniano: a un subespacio dado A sólo hay que asociar las formas diferenciales (constantes) duales a él, hasta los múltiplos; esto permite pensar en un punto del Grassmanniano como un punto en un espacio proyectivo, dando (más o menos) la incrustación habitual de Plucker. Es decir: los elementos duales a las subvariedades generales son formas diferenciales no costantes, pero si se restringe a los subespacios se pueden utilizar formas diferenciales costantes.

No tengo una explicación intuitiva del vínculo con las representaciones irreducibles de GL y no conozco los fermiones, así que no puedo ayudarte en eso.

Answer 3

En mi opinión, el objeto unificador de todos los casos que has mencionado es el operador de Dirac:

1. El operador de Dirac actúa sobre el álgebra exterior (posiblemente retorcida) de las formas diferenciales.

2. Algunos casos de la teoría de la representación (donde GL(V) es un caso especial) pueden formularse utilizando el operador de Kostant-Dirac.

3. Los fermiones satisfacen la ecuación de Dirac.

4. El grassmanniano (de dimensión infinita) en segunda cuantización puede construirse a partir del espectro de Dirac (de una partícula) (por encima y por debajo del mar de Dirac).

5. Finalmente, el determinante, puede verse como el jacobiano de una transformación lineal de las variables de Grassmann que son contrapartes "clásicas" (en el sentido de Berezin) de los fermiones.

Answer 4

Un punto que tal vez valga la pena mencionar explícitamente es que el grupo simétrico (donde consideramos sólo el subgrupo de todos los elementos con soporte finito si $E$ es infinito) de un conjunto $E$ tiene dos representaciones unidimensionales. La representación trivial está por supuesto relacionada con el álgebra simétrica y la representación de firma corresponde al álgebra exterior.

Answer 5

Creo que lo que unifica algunos de los diferentes ejemplos de cuándo se produce el álgebra exterior es que es la estructura que transforma la acción de un anillo conmutativo sobre un módulo (o, más concretamente, la acción de varios operadores lineales conmutativos sobre un espacio vectorial) en un complejo de cadenas. La estructura omnipresente es realmente conmutativo anillos y módulos sobre anillos conmutativos. El álgebra exterior codifica realmente la conmutatividad, en cierto sentido. (Cabe preguntarse entonces por qué a los matemáticos les gustan tanto los anillos conmutativos, los operadores conmutativos, etc.)

Al tensar una acción conmutativa con el álgebra graduada se obtiene el complejo de Koszul, y la naturaleza anticomutativa del álgebra graduada es precisamente lo que, al acoplarse con la acción conmutativa del anillo, hace posible la definición de un operador dirac $d$ con $d^2=0$ .

Estas ideas se me ocurrieron después de pensar en el artículo de Joseph Taylor, "A joint spectrum for several commuting operators", J. Funct. Anal. , 1970.