¿Por qué el álgebra exterior es tan omnipresente?

Question

El álgebra exterior de un espacio vectorial V parece aparecer por todas partes, como en

• la definición del producto cruzado y del determinante,
• la descripción del Grassmanniano como variedad,
• la descripción de las representaciones irreducibles de GL(V),
• la definición de las formas diferenciales en la geometría diferencial,
• la descripción de los fermiones en la supersimetría.

¿Qué principio unificador se esconde detrás de estas apariencias del álgebra exterior? (Debo mencionar que lo que realmente me interesa aquí es el significado geométrico del lema de Gessel-Viennot y, por asociación, del principio de inclusión-exclusión).

Answer 1

Sólo para usar una palabra de moda que Greg no usó, el álgebra exterior es el álgebra simétrica de un espacio supervectorial puramente impar. Por lo tanto, no es "mejor que un álgebra simétrica", es un álgebra simétrica.

La razón de que esto ocurra es que los superespacios vectoriales no son sólo espacios vectoriales graduados en Z/2, sino que también tienen una estructura de categoría tensorial ligeramente diferente (el mapa de volteo en el producto tensorial de dos espacios vectoriales impar es -1 veces el mapa de volteo habitual, y el mapa de volteo habitual para todos los demás espacios vectoriales puros). Si se observan todas las fórmulas del álgebra homológica, para cosas como la forma de tomar el producto tensorial de dos complejos, siempre aparecen un montón de signos extraños; siempre se puede pensar que éstos provienen del hecho de que se debe tomar el producto tensorial en los espacios vectoriales graduados heredados de los superespacios vectoriales, no el aburrido.

Por supuesto, esto sólo plantea la cuestión de por qué aparecen tanto los espacios supervectoriales. Greg tenía una respuesta tan buena como la que yo podía dar para eso.

Answer 2

Esta es una respuesta que tendría sentido para un alumno de primaria, si entendiera lo que se le pregunta. Es el argumento original de Grassmann para considerar la anticomutatividad. No tengo una referencia a mano, pero estoy bastante seguro de que aparece en el material de introducción de uno de los Ausdehnungslehre, o quizás en un ensayo de resumen.

El objetivo de Grassmann era encontrar una forma de "aritmética" de la geometría. Hagámoslo de forma muy ingenua. Supongamos que tenemos un segmento de línea AB y otro segmento de línea colineal BC:

A---------B----------C

Entonces, por inspección visual, AB + BC = AC. Sin embargo, supongamos ahora que C se encuentra en el centro en lugar de B:

A---------C----------B

Escribiendo la ecuación obvia de este arreglo obtenemos AC + CB = AB

Si resolvemos el sistema de dos ecuaciones resultante, nos damos cuenta de que BC = -CB

¡Anticomutatividad!

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Un pensamiento adicional para Qiaochu, ¿has mirado el libro de Klein y Rota Introducción a la probabilidad geométrica ? Hay algunas analogías interesantes entre las estructuras combinatorias y la geometría que pueden dar que pensar. En particular, vinculan la inclusión-exclusión y la característica de Euler como las únicas valoraciones invariantes de 0 dimensiones en los entornos combinatorio y geométrico respectivamente.

Answer 3

Para mí, el álgebra exterior es el álgebra polinómica libre en variables anticomutativas. Por supuesto, esto nos lleva a preguntarnos por qué aparecen tanto las variables anticomutativas.

Como algebrista homológico, la razón que me salta a la vista es que el mapa de frontera d en un complejo es un operador anticonmutante, lo que puede verse en la regla de signos de Koszul para los mapas de frontera conmutantes entre sí. Por supuesto, esto no explica realmente todos los casos de variables anticonmutantes.

Answer 4

Si el álgebra exterior fuera sólo el álgebra simétrica (hasta un grado de grado), no sería una noción útil por sí misma.

Pero a mí me parece que no lo es: Consideremos un espacio vectorial ordinario V en un campo k de la característica 2. Para simplificar, supongamos que V es unidimensional con generador $x$ . Como $x \wedge x = 0$ El Graßmann de Graßmann V es k en peso 0 y 1, y trivial en todos los demás pesos.

Ahora cambia la paridad del espacio vectorial V , es decir, considerar x para ser de grado impar. Llamemos al espacio vectorial impar resultante $W$ . ¿Qué es el álgebra simétrica sobre $W$ ? Despreciando la paridad, es simplemente el álgebra polinómica k en una variable, que es k en todos los positivos pesos. La discrepancia proviene del hecho de que en la característica 2 el álgebra simétrica no ve la diferencia entre elementos pares e Impares elementos.

En cuanto a la ubicuidad del álgebra exterior: Dado un operador A actuando en cualquier espacio, es muy natural preguntarse si $A \circ A = 0$ (por ejemplo, cualquier posible diferencial en álgebra homológica). Siempre que tengo un espacio vectorial de operadores que tiene esta propiedad, aparece el álgebra exterior. Y tal situación parece bastante común.

Además, el álgebra exterior goza de una propiedad que el álgebra simétrica (del espacio desplazado) no tiene: Si V es libre de rango n, el par natural $\Lambda^p V \otimes \Lambda^{n - p} V \to \Lambda^n V$ es un maridaje perfecto.

Answer 5

Como dijo Gilbert, la intención original de Grassmann era aritmética de la geometría, y creo que el producto exterior lo capta bastante bien.

La intuición es que para cualquier espacio vectorial $V$ el producto exterior $\Lambda^k V$ corresponde a la $k$ -subespacios dimensionales de $V$ . En otras palabras, la sorprendente idea de Grassmann es que los subespacios pueden ser capturados por un producto algebraico, al menos hasta cierto punto. En concreto, consideremos dos conjuntos de vectores $v_1,\dots,v_k$ y $w_1,\dots,w_k$ . Estos conjuntos abarcan el mismo $k$ -subespacio dimensional en $V$ si y sólo si

$v_1 \wedge \dots \wedge v_k = \lambda \cdot w_1 \wedge \dots \wedge w_k \neq 0$

en $\Lambda^k V$ . Dicho de otro modo, un producto cuña puro de vectores puede identificarse con su tramo lineal (si tiene dimensión completa).

Este punto de vista explica perfectamente los cuatro primeros puntos de la pregunta:

• El factor adicional en el producto de la cuña puede interpretarse como una medida de volumen.
• Reformulación de la intuición anterior.
• Elementos de $GL(V)$ también permutan los subespacios de mayor dimensión de $V$ .
• Formas diferenciales = subespacios infinitesimales + volúmenes.

Los fermiones no encajan, su única relación con lo anterior parece ser su antisimetría.