encontrar el valor de $\sec^4(\pi/9) + \sec^4( 2\pi/9) + \sec^4 (4\pi/9)$

Question

Encontrar el valor de $\sec^4(\pi/9) + \sec^4( 2\pi/9) + \sec^4 (4\pi/9)$

Intenté convertir $\sec^2(\theta)$ a $\tan^2(\theta)$ pero no en vano.

Answer 1

Como Evaluar $\tan^{2}(20^{\circ}) + \tan^{2}(40^{\circ}) + \tan^{2}(80^{\circ})$

$$\cos3t=4\cos^3t-3\cos t$$

Observe que $\sec\left(3\cdot\dfrac{\pi}9\right)=2,\sec\left(3\cdot\dfrac{2\pi}9\right)=-2, \sec\left(3\cdot\dfrac{4\pi}9\right)=-2$

Poner $3t=\dfrac\pi3$

Por lo tanto, las raíces de $4c^3-3c-\dfrac12=0\iff8c^3-6c-1=0$ son $\cos\dfrac{(6n+1)\pi}9$ donde $n=0,1,2$

Como $\cos(\pi\pm y)=-\cos y$

$\cos\dfrac{(6\cdot1+1)\pi}9=\cdots=-\cos\dfrac{2\pi}9$ y $\cos\dfrac{(6\cdot2+1)\pi}9=\cdots=-\cos\dfrac{4\pi}9$

Set $\dfrac1c=s$ para encontrar las raíces de $s^3+6s^2-8=0$ son $$ \sec\dfrac\pi9, -\sec\dfrac{2\pi}9, -\sec\dfrac{4\pi}9$$

Cuadrar ambos lados de $s^3=8-6s^2$ y reemplazar $s^2=t$ para encontrar las raíces de $$t^3-36t^2+96t-64=0$$ son $$a=\sec^2\dfrac\pi9,b=\sec^2\dfrac{2\pi}9,c=\sec^2\dfrac{4\pi}9$$

Necesitamos $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$$