Medidas de Dirac en la recta real

Question

Dejemos que $p \in R$ . Definir una medida sobre el conjunto de subconjuntos de $R$ de la siguiente manera: $\delta_p(E) = 1$ si $p \in E$ y $\delta_p(E) = 0$ de lo contrario, para algunos $p \in R$ . Pregunta: Supongamos que tenemos una medida $m$ definida en los subconjuntos de la recta real que toma sólo los valores $0$ y $1$ . Demostrar que $m$ es $0$ en todas partes o es igual al $\delta_p$ para algunos $p$ .

Mi enfoque : Supongamos que tenemos $m$ que sólo toma los valores $0$ y $1$ . Por aditividad contable $m$ no puede tomar $1$ en dos conjuntos disjuntos cualesquiera. Por lo tanto, sólo hay un conjunto que se llama $X$ en el que $m$ puede ser $1$ . Ahora tenemos que encontrar un $p$ en este $X$ para que sea lo mismo que $m$ pero no veo cómo

Answer 1

Esto no es del todo trivial: después de todo, es concebible que $m$ es $0$ en cada punto sin ser la medida cero.

Suponiendo que $m\neq 0$ hay que demostrar que $m(\{ p\})=1\;$ para algún punto $p\in\mathbb R$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que no es posible que cada $x\in\mathbb R$ tiene un barrio abierto $V_x$ tal que $m(V_x)=0$ . De hecho, desde que $\mathbb R$ tiene una base contable de conjuntos abiertos, se deduce que $\mathbb R=\bigcup_{n\in\mathbb N} V_n$ , donde $(V_n)$ es una secuencia de conjuntos abiertos tal que $m(V_n)=0$ para todos $n$ y por lo tanto $m=0$ por subaditividad contable.

Así que hay algún punto $p\in \mathbb R$ tal que $m(V)>0\;$ para cada vecindad de $p$ Así que $m(V)=1\;$ para cualquier vecindad de este tipo. Tomando $V_n=(p-\frac1n, p+\frac1n)$ para que $\bigcap_n\downarrow V_n=\{ p\}$ se deduce que $m(\{ p\}) =\lim(V_n)=1$ .

Obsérvese que la conclusión requerida no se cumple si sólo se supone que $m$ es finamente aditivo: toma cualquier ultrafiltro no principal $\mathcal U$ en $\mathbb R$ y considerar la medida finitamente aditiva $m$ definido por $m(A)=1$ si $A\in\mathcal U$ y $m(A)=0$ si $A\not\in\mathcal U$ .