Hay una aproximación analítica al mínimo de la función?

Question

Estoy buscando una analítica de la función que aproxima el mínimo de la función. es decir,

$|f(x_1,x_2) - \min(x_1,x_2)| < \zeta$ algunos $\zeta$ que puede estar relacionado con el $|x_1 - x_2|$. O puede ser una serie de $f_1,f_2,....$ donde $\lim_{n \to \infty} \zeta = 0$.

Answer 1

Tenga en cuenta que usted puede cambiar fácilmente entre el max y min de la $\min(x, y) = - \max(-x, -y)$.

En diversos de equipo de aplicaciones de gráficos, o en problemas de optimización, hay varios "suave" o "suave" de máximos y mínimos de funciones. En el contexto gráfico que se utiliza exclusivamente para la estética para eliminar feo discontinuidades. En los problemas de optimización se utilizan para dar una mejor función de que los optimizadores de manejar mejor que la verdadera función.

Uno de esos común softmax es $\log(\exp(x) + \exp(y))$. Reescalado por $k$ establece una escala para la tolerancia: $\log(\exp(kx) + \exp(ky))/k$. Esto tiene la propiedad de que los enfoques de los más grandes de $x$ $y$ cuando son muy diferentes, pero tiene la mala de la propiedad que está desactivado por $\log 2$ cuando son iguales.

El máximo es también el $p = \infty$ límite de la generalizada media/poder de los medios. Por el contrario, el $p = -\infty$ límite es el mínimo.

(También hay un softmax la activación de la función que convierte los números en los pesos de las distintas opciones. Es realmente un soft de selección de la máxima, por lo que es tal vez equivocadamente. Esto no es lo que quieras, aunque está relacionado, utilizando las ponderaciones por una suma de entradas da algo razonable.)

Answer 2

Siguiente Raskolnikov la sugerencia es suficiente para producir una analítica en la aproximación a la función de valor absoluto. Aquí las funciones $f_\epsilon(x):=\sqrt{x^2+\epsilon^2}$ útil; se diferencian de las $|x|$ a la mayoría de los $\epsilon$ sobre todo ${\mathbb R}$. Si $|x|$ está delimitado a priori, decir $|x|\leq 1$, entonces usted puede incluso reemplazar el $f_\epsilon$ adecuado polinomios $q_\epsilon(x^2)$.

Answer 3

La única función que sé que tiene esta propiedad es esencialmente

$$\max(x, y) \sim \frac{x e^{kx} + y e^{ky}}{e^{kx} + e^{ky}}$$

para un gran $k$.

(@wnoise estaba cerca de la respuesta. En este caso no hay ningún problema si $x=y$.)

Esto funciona para números positivos o negativos y tiende a la máxima para $k\to\infty$. Otras fórmulas basadas en las competencias sólo son válidas para los números positivos (como $\sqrt[n]{x^n + y^n}$).

La integral de la contraparte es

$$ \frac{\int{f(x) e^{kf(x)} dx}}{\int{e^{kf(x)} dx}} $$

Hay una pequeña advertencia si desea aplicar esta numéricamente usted necesita para tener una estimación de la máxima en el primer lugar (y de integrar sobre desplazado valores), de lo contrario, la integral (o incluso de la suma) se va para bajo/desbordamiento con bastante facilidad.

Esto está relacionado con el de Laplace del método. Nota que me hicieron una pregunta relacionada con:

Real aproximación a la máxima utilizando el método de Laplace de la integral

Answer 4

Usted puede suavizar cualquier función mediante la adopción de la convolución con un suave golpe de la función. Como el apoyo de la protuberancia de la función se reduce a cero, la secuencia de alisado versiones convergerán para su función original.

Añadió: Para ser más específicos, una Gaussiana de convolución con $|x|$ da
$$|x|\approx x\ \mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)+\sqrt{2\over \pi}\sigma \exp(-x^2/2 \sigma^2)$$ como una aproximación suave a la función de valor absoluto. Si usted prefiere una función que se desvanece en cero, tomar $$|x|\approx x\ \mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)+\sqrt{2\over \pi}\sigma \left[\exp(-x^2/2 \sigma^2)-1\right].$$ Aquí "fer" se refiere a la función de error. Dejando $\sigma$ enfoque de cero da mejores aproximaciones.

Para el caso, se podría utilizar $$ |x|\approx x\ \mbox{erf}(x/\sigma).$$