Bueno, lo primero que hay que decir es que hay que ver los entusiastas y mundialmente conocidos trabajos del propio Cherednik sobre el DAHA como centro del mundo matemático (digamos su ICM de 1998). Mencionaré un par de aspectos más geométricos, pero esto es un área huuuge..
Hay al menos tres apariencias geométricas distintas de DAHA, que se podrían clasificar por el número de bucles (como en los grupos de bucles) que aparecen: dos, uno o cero. (Por cierto, para los entendidos en la materia, ignoraré intencionadamente la diferencia entre DAHA y su subálgebra esférica).
Cuadro de doble bucle: Véase, por ejemplo, el artículo de Kapranov arXiv:math/9812021 (los apuntes de sus conferencias al respecto están disponibles en mi página web) y el arXiv:math/0012155 relacionado. La idea intuitiva, muy difícil de precisar, es que DAHA es el análogo de doble bucle (o campo local 2d, como F_q((s,t)) ) de las álgebras de Hecke finitas (F_q) y afines (F_q((s)) álgebras de Hecke. En otras palabras, aparece como funciones sobre cosets dobles para el grupo de lazo doble y su subálgebra "Borel". (Por supuesto, hay que decidir qué significa "funciones" o más bien "medidas" y qué significa "Borel"). Esto significa, en particular, que controla las reps de tipo serie principal de los grupos de doble bucle, o la geometría de los módulos de los paquetes G en una superficie, observada cerca de una "bandera" (es decir, un punto dentro de una curva dentro de la superficie). La teoría de las repeticiones sobre campos locales 2d que se necesita para que esto tenga sentido se estudia en una serie de artículos de Kazhdan con Gaitsgory (arXiv:math/0302174, 0406282, 0409543), con Braverman (0510538) y más recientemente con Hrushovski (0510133 y 0609115). Este último es totalmente impresionante, en mi opinión, ya que utiliza ideas de la lógica para definir definitivamente lo que significa la teoría de la medida en dichos campos locales.
Imagen de bucle simple: Las álgebras afines de Hecke tienen dos presentaciones, la "estándar" (que tiene que ver con los grupos abstractos de Kac-Moody) y la de Bernstein (que tiene que ver específicamente con los grupos de bucles). Estas dos aparecen en las dos caras de la dualidad de Langlands (véase, por ejemplo, la introducción del libro de Chriss y Ginzburg). Asimismo, hay una imagen de DAHA que es dual a la anterior "estándar". Esto se desarrolla primero en Garland-Grojnowski (arXiv:q-alg/9508019) y más a fondo por Vasserot arXiv:math/0207127 y varios documentos de Varagnolo-Vasserot. La idea aquí es que DAHA aparece como el grupo K de las láminas coherentes en G(O) \G (K)/G(O) - la versión del grupo de bucles de las celdas de Bruhat en la variedad de banderas finitas (de nuevo, ignorando a los Borels frente a los parabólicos). De nuevo, esto es difícil de precisar. Esto da, en particular, una imagen geométrica para las repeticiones de DAHA, análoga a la de AHA debida a Kazhdan-Lusztig (véase de nuevo Chriss-Ginzburg).
[EDIT: A nueva encuesta sobre este tema de Varagnolo-Vasserot acaba de aparecer].
Aquí es donde entra en juego el Langlands geométrico: la interpolación anterior significa que DAHA es el álgebra de Hecke que actúa sobre (grupos K de) tramas coherentes en T^* Bun_G X para cualquier superficie de Riemann X -- es el análogo coherente de los operadores de Hecke habituales en el Langlands geométrico. Por lo tanto, si se categoriza el DAHA (mira las CATEGORÍAS de las trenzas coherentes) se obtienen los funtores de Hecke para el llamado "límite clásico de Langlands" (la cotangente a Bun_G es el límite clásico de los diffops en Bun_G).
La transformada de Fourier de Cherednik da una identificación entre DAHA para G y el grupo dual G'. En esta imagen se trata de un isómero entre grupos K de gavillas coherentes sobre Grassmanianos para grupos duales de Langlands (la versión categorizada de esto se conjetura en Bezrukavnikov-Finkelberg-Mirkovic arXiv:math/0306413). Esta es una parte natural del límite clásico de Langlands: se supone que se tiene una equivalencia entre gavillas coherentes sobre cotangentes de Bun_G's duales de Langlands, y esta es su forma local, ¡identificando los operadores de Hecke en los dos lados!
En esta imagen el DAHA aparece recientemente en la física (desde que lo hace el Langlands geométrico en todas sus variantes), en el trabajo de Kapustin (arXiv:hep-th/0612119 y con Saulina 0710.2097) como "operadores Wilson-'t Hooft" --- la idea es que en la teoría gauge SUSY hay un DAHA completo de operadores (con los nombres anteriores). El paso a la TFT que da Langlands mata a la mitad de ellos - una mitad diferente en los dos lados de la dualidad de Langlands, de ahí la asimetría.. pero en la versión clásica todos los operadores sobreviven, y la SL2Z de la dualidad S eléctrica-magnética/Montonen-Olive es exactamente la SL2Z de Cherednik que mencionas..
Por último (ya que esto se está alargando mucho), la imagen sin bucle: es la que has referido en 2. a través de los operadores de tipo Dunkl. En concreto, DAHA aparece como operadores de diferencia en H/W (y sus diversas degeneraciones, las álgebras de Cherednik, aparecen sustituyendo H por h y la diferencia por el diferencial). De esta forma (y no voy a dar un millón de referencias a los artículos de Etingof y muchos otros, ya que los conoces mejor) DAHA son las simetrías de los sistemas cuánticos de muchos cuerpos (los sistemas de Calogero-Moser y Ruijsenaars-Schneiders, para ser exactos), y aquí es donde aparecen naturalmente los polinomios de Macdonald como integrales cuánticas del movimiento. Lo único que diré aquí es señalar un impresionante trabajo reciente de Schiffmann y Vasserot arXiv:0905.2555, donde esta imagen también está ligada a la geometría de Langlands.. A grandes rasgos, la idea es que H/W es en sí mismo (una versión degenerada de una pieza abierta de) un módulo de paquetes G, en el caso de una curva elíptica. Por lo tanto, estudiar DAHA es esencialmente estudiar módulos D o módulos de diferencia en Bun_G en género uno (véase el artículo de Nevins arXiv:0804.4170 donde se desarrollan más estas ideas). Schiffman-Vasserot muestran cómo interpretar los polinomios de Macdonald en términos de series geométricas de Eisenstein en género uno.. Por ahora es suficiente.
