¿Existe un número entero positivo k tal que $4k+1$ y $9k+1$ ¿son ambos cuadrados?
Respuestas
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Supongamos que $4k+1 = a^2$ y $9k+1 = b^2$ , donde $a, b$ son enteros positivos.
Entonces, obtenemos que $ 9a^2 - 4b^2 = 5 $ .
Ya que tenemos $(3a-2b)(3a+2b) = 5$ y ambos términos son enteros, $3a+2b > 0$ , $3a+2b>3a-2b$ , por lo que debemos tener $3a+2b = 5, 3a-2b = 1$ . Esto nos da $a=1, b= 1$ y por lo tanto $k=0$ es la única solución.
MrTuttle
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Vamos a encontrar el $k$ para lo cual $4k+1 = a^2$ es un cuadrado. $4k+1$ es impar, así que $a$ es impar. Entonces tenemos
$$k = \frac{a^2-1}{4} = \frac{a-1}{2}\cdot\frac{a+1}{2} = \frac{a-1}{2}\left(\frac{a-1}{2}+1\right)$$
el producto de dos números consecutivos. Por comodidad, escribamos $k =m\cdot (m+1)$ . Así que puede $9k+1$ ¿es un cuadrado entonces?
$$9k+1 = 9m(m+1)+1 = 9m^2 + 9m + 1 = (3m+1)^2 + 3m = (3m+2)^2 - 3(m+1)$$
se encuentra estrictamente entre dos cuadrados consecutivos, entonces, a menos que $m = 0$ o $m+1 = 0$ , lo que significa que $k = 0$ pero eso está excluido ya que $k$ debía ser positivo.
MathOverview
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La respuesta es no para k>0. Dejemos que $b>a$ , $a^2=4k+1$ y $b^2=9k+1$ . Tenga en cuenta que, $$ 5k=b^2-a^2=(b+a)(b-a)=\left(\sqrt{9k+1}+\sqrt{4k+1}\right)\cdot \left(\sqrt{9k+1}-\sqrt{4k+1} \right) $$ Caso 1:set $k$ un número primo. Entonces
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$k=\left(\sqrt{9k+1}+\sqrt{4k+1}\right)$ y $5=\left(\sqrt{9k+1}-\sqrt{4k+1}\right)$ o
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$k=\left(\sqrt{9k+1}-\sqrt{4k+1}\right)$ y $5=\left(\sqrt{9k+1}+\sqrt{4k+1}\right)$ .
En ambos casos, $ k+5=2\sqrt{9k+1}. $ Y esta ecuación cuadrática no tiene solución entera para $ k $ .
Caso 2:set $k=\alpha\cdot\beta\cdot p$ whit $\beta\geq \alpha$ y $p>1$ números naturales. Por un procedimiento completamente análogo al caso anterior obtenemos,
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$\beta\cdot p =\left(\sqrt{9k+1}+\sqrt{4k+1}\right)$ y $5\alpha=\left(\sqrt{9k+1}-\sqrt{4k+1}\right)$ o
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$\beta\cdot p=\left(\sqrt{9k+1}-\sqrt{4k+1}\right)$ y $5\alpha=\left(\sqrt{9k+1}+\sqrt{4k+1}\right)$ .
En ambos casos, $p\beta +5\alpha=2\sqrt{9\alpha\beta p+1}.$ También en este caso se puede comprobar que no hay una solución real para $ p $ para todos $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*$ .
