Dejemos que $p = y^\prime$ , entonces obtenemos $p^\prime(1+2\ln(p))=1$ Así que $x + c_1 = \int(1+2\ln(p))dp = p(2\ln(p)-1)$ .
Pero luego me quedo atascado porque no sé qué hacer a continuación.
Respuesta
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Lamentablemente, no se puede hacer mejor con las funciones estándar y hay que utilizar Lambert $W$ función ( https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function ) para obtener ahora una expresión de $p$ en función de $x$ .
Más concretamente, la función $W$ verifica $w(x)\,e^{w(x)} = x$ (es decir, es (una de) las funciones inversas de la función $y\mapsto y\,e^y$ ), por lo que $w + \ln w = \ln x$ mientras que su última ecuación se puede escribir $$ a = p \ln p - p/2, $$ donde $a= \frac{x+c_1}{2}$ y así $$ \frac{a}{p} + 1/2 = \ln(p) = -\ln(1/p) = -\ln(a/p) + \ln(a), $$ de la que obtenemos $$ \tfrac{a}{p} + \ln(\tfrac{a}{p}) = \ln(a/\sqrt{e}). $$ Por lo tanto, $\frac{a}{p} = w(a/\sqrt{e})$ o, por el contrario $$ y'(x) = \frac{x+c_1}{2\,w\!\left(\frac{x+c_1}{2\,\sqrt{e}}\right)} $$
