Estoy trabajando con una EDO no lineal de segundo orden que tiene una solución analítica en términos de la función elíptica de Jacobi $sn(u|k^2)$ . La ecuación es $y''=y(\gamma - \frac{y^2}{2})$ donde $\gamma$ es una constante y debe ser menor que 0 para el problema específico que estoy tratando.
Quiero resolver la ecuación a mano por lo que estoy usando una primera integral para convertirla en una EDO no lineal de primer orden porque no depende de $y'$ . Haciendo eso consigo:
$$\frac{dy}{dx}= \pm \sqrt{y^2 \left( y-\frac{y^2}{4} \right) + C_1}$$
Donde $C_1$ es una constante de integración. Puedo separar ambos lados de esta ecuación y obtengo la siguiente integral:
$$\int_0^y \frac{dr}{\sqrt{r^2(\gamma-\frac{r^2}{4}) + C_1}}$$
Que sé que se puede transformar en una integral elíptica porque ese es el resultado que obtengo si lo introduzco en Mathematica (la integral elíptica del primer tipo con $\phi=i arcsinh(\alpha y)$ ) donde $i$ es la unidad imaginaria y $\alpha$ es una constante que depende de $\gamma$ y $C_1$ .
Lo que quiero saber es qué cambios de variables debo realizar para obtener la integral elíptica correspondiente:
$$\int_0^{iarcsinh(\alpha y)} \frac{dt}{\sqrt{1 - k^2 sin^2(t)}}$$
He visto este hilo: Evaluación de la integral elíptica $\int_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{(t-2\cos x)^2-4}}$ y he intentado realizar algún cambio similar a los que allí se proponen pero sin resultado.
Gracias.
