1) Los conjuntos abiertos estándar se definen para cada espacio localmente anillado. Si $f \in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ entonces $X_f$ (a veces también llamado $D(f)$ ) es por definición el conjunto de todos los $x \in X$ tal que $f_x \notin \mathfrak{m}_x$ , donde $\mathfrak{m}_x$ es el ideal máximo del anillo local $\mathcal{O}_{X,x}$ . Equivalentemente, $f(x) \neq 0$ en el campo de los residuos $k(x) = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ . Esta es también la razón por la que a menudo $X_f$ se denomina "locus donde $f$ no se desvanece" o "donde $f$ es invertible". Es un ejercicio fácil demostrar que $X_f$ es de hecho abierto, y que tenemos las identidades estándar $X_1 = X$ , $X_f \cap X_g = X_{fg}$ . Cuando $X$ es un conjunto algebraico afín, éste coincide con el lugar donde $f$ no desaparece definida en el sentido habitual (y probablemente esto es lo que querías decir con $D(f) \subseteq V$ ).
2) De nuevo, las gavillas cuasi-coherentes tienen sentido para espacios anillados arbitrarios. Y es una muy mala idea dar definiciones sólo para conjuntos algebraicos $\subseteq \mathbb{A}^n$ ¡y tratar de extenderlos a través de isomorfismos elegidos! Deberías trabajar con objetos geométricos intrínsecos y los espacios anillados (localmente) proporcionan un buen marco para ello. Así que vamos a utilizar este lenguaje.
Un módulo cuasi-coherente en un espacio anillado $X$ es sólo un módulo $M$ (es decir, lo que la mayoría de la gente llama una gavilla de módulos) en $X$ tal que localmente en $X$ hay una presentación $\mathcal{O}^{\oplus I} \to \mathcal{O}^{\oplus J} \to M \to 0$ . Así que para ser más precisos: Hay una cubierta abierta $X = \cup_i X_i$ tal que para cada $i$ hay una secuencia exacta (que, por supuesto, no pertenece a los datos) $\mathcal{O}|_{X_i}^{\oplus I} \to \mathcal{O}|_{X_i}^{\oplus J} \to M|_{X_i} \to 0$ . Los módulos cuasi-coherentes constituyen una categoría (tensorial) $\mathrm{Qcoh}(X)$ que, por cierto, es un invariante muy interesante y profundo de $X$ especialmente cuando $X$ es una variedad.
Cómo construir módulos cuasi-coherentes en un espacio anillado $X$ ? Bueno, escoge una $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ -Módulo $M$ . Entonces afirmo que podemos construir un módulo cuasi-coherente $\tilde{M}$ en $X$ de la siguiente manera: Elija una presentación $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)^{\oplus I} \to \Gamma(X,\mathcal{O}_X)^{\oplus J} \to M \to 0.$ Representar el morfismo de la izquierda como una "matriz de relación" formada por elementos de $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ . Ahora, cada sección global de este tipo corresponde a un homomorfismo $\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ . Así, podemos producir una matriz formada por endomorfismos sobre $\mathcal{O}_X$ y, por tanto, un morfismo $\mathcal{O}_X^{\oplus I} \to \mathcal{O}_X^{\oplus J}$ . Definir $\tilde{M}$ para ser el cokernel. Por definición, ¡esto es cuasi-coherente! Esto ya produce muchos ejemplos; de hecho, todos los $X$ es una variedad afín, pero sólo pocas si $X$ es proyectiva.
Para dar una definición más concisa que no dependa de la presentación: Basta con definir $\tilde{M}$ para ser la gavilla asociada a la preseaf $U \mapsto \Gamma(U,\mathcal{O}_X) \otimes_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} M$ . Esta definición implica fácilmente una caracterización más conceptual del functor $M \to \tilde{M}$ de $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ -a módulos cuasi-coherentes en $X$ : Es adjunto a la izquierda del functor de sección global. De hecho, todo lo que quieras saber sobre $\tilde{M}$ ya se desprende de esta adjunción. Puedes olvidarte de los detalles de la construcción, sólo tienes que recordar $\hom(\tilde{M},F) \cong \hom(M,\Gamma(X,F))$ que en realidad es válida para todo módulo $F$ en $X$ .
Entonces, ¿qué sucede cuando $X$ es alguna variedad afín? Entonces los conjuntos $X_f$ constituyen una base para la topología de $X$ y tenemos $\Gamma(X_f,\mathcal{O}_X) = \Gamma(X,\mathcal{O}_X)_f$ . En concreto, esto es bien conocido si $X \subseteq \mathbb{A}^n$ y luego se generaliza inmediatamente a las variedades afines, que son isomorfas como espacios anillados a dichas variedades concretas. Sea $M$ ser un $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ -módulo. Ahora resulta que la preseaf definida arriba es en realidad una gavilla. Esto se reduce a lo siguiente: Si $f_1,\dotsc,f_n \in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ generan el ideal unitario (es decir, los conjuntos correspondientes $X_{f_i}$ portada $X$ ), entonces la secuencia canónica
$$0 \to M \to \prod_{i} M_{f_i} \to \prod_{i,j} M_{f_i f_j}$$
es exacta. Todo el mundo debería haber hecho esta demostración en lugar de buscarla en las fuentes estándar. Porque creo que es bastante esclarecedora y de hecho puramente geométrica si se piensa en $f_1,\dotsc,f_n$ como una partición de la unidad.
De todos modos, esto nos dice que no necesitamos gavillas asociadas en la definición de $\tilde{M}$ . Así, por definición, en el subconjunto abierto $X_f$ viene dado por
$$\Gamma(X_f,\tilde{M}) = \Gamma(X_f,\mathcal{O}_X) \otimes_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} M = \Gamma(X,\mathcal{O}_X)_f \otimes_{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} M = M_f.$$
Así que esto describe algunas gavillas cuasi-coherentes sobre variedades afines. De hecho, se puede demostrar que cada gajo cuasi-coherente en una variedad afín $X$ tiene la forma $\tilde{M}$ . En concreto, se demuestra que para cada gajo de este tipo $F$ el morfismo contable canónico de la adjunción mencionada anteriormente $\tilde{\Gamma(X,F)} \to F$ es un isomorfismo. De nuevo, este es un ejercicio muy bonito. Después de pensar un poco verás que esto es sólo otra aplicación de la secuencia exacta anterior. Así que esto proporciona, para cada afín variedad, una equivalencia de categorías
$$\mathrm{Qcoh}(X) \cong \mathrm{Mod}(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)).$$
Por cierto, si usted definir $\tilde{M}$ en una variedad afín por $\Gamma(X_f,\tilde{M}) = M_f$ y extendida vía límites proyectivos a subconjuntos abiertos arbitrarios, entonces probablemente te gustaría saber que se trata de una gavilla. Y de nuevo esto se reduce a la secuencia exacta anterior. No se puede evitar. No me gusta este enfoque porque es algo torpe, no se obtiene la imagen general, y no produce una fórmula para $\tilde{M}(U)$ para la arbitrariedad $U$ . Por eso he optado por el enfoque más bien abstracto, pero espero que conciso, de arriba. Por supuesto, nada es nuevo, puedes encontrar todo eso en EGA I, el Proyecto Stacks, etc.
