Confusión sobre las ecuaciones de movimiento para una acción no local

Question

Dada una acción $$S = \int d^4x[\phi^2(x) \exp(\int d^4y F(x-y)\phi^2(y))]$$ es bastante sencillo obtener las ecuaciones clásicas del movimiento, simplemente calculando $\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}$ utilizando las reglas del producto y de la cadena. Mi pregunta es, ¿cómo cambiaría el procedimiento si el término de la exponencial incluyera derivadas, digamos si tuviéramos

$$S = \int d^4x[\phi^2(x) \exp(\int d^4y F(x-y)(\phi(y)+g\partial_\mu\partial^\mu\phi(y))^2)]$$

donde $g$ es alguna constante y las derivadas parciales son con respecto al $y$ coordenadas. En particular, ¿hay alguna manera de dar sentido a expresiones como $\frac{\delta }{\delta\phi(x)}\partial_\mu\partial^\mu\phi(y)$ ?

Answer 1

Pistas:

1. Si la acción es de forma no local $$S[\phi]~=~\int d^4x ~\phi^2(x) e^{G[\phi;x]},$$ entonces la derivada funcional (siempre que tenga sentido matemático) es de la forma $$ \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(z)} ~=~2\phi(z)e^{G[\phi;z]} +\int d^4x~\phi^2(x)\frac{\delta G[\phi;x]}{\delta \phi(z)} e^{G[\phi;x]}. $$

2. No olvide que el Expresión de Euler-Lagrange contiene más términos si el funcional contiene derivadas espacio-temporales de orden superior.