Convergencia en $L_p$ y en otros lugares

Question

Dejemos que $\|f\|_p:=(\int_X|f|^pd\mu)^{1/p}$ y que $L_p$ sea el espacio de (las clases de equivalencia de) funciones complejas o reales medibles tales que $\int_X|f|^p d\mu<\infty$ existe. En el caso de Kolmgorov-Fomin Encuentro las siguientes propiedades interesantes que son válidas para cualquier espacio $X$ tal que $\mu(X)<\infty$ :

1. Si la secuencia $\{f_n\}\subset L_2(X,\mu)$ converge con respecto a la métrica de $L_2(X,\mu)$ también converge con respecto a la métrica de $L_1(X,\mu)$ [a la misma función, diría yo].
2. Si la secuencia $\{f_n\}$ [donde creo que es necesario que pretendamos $\{f_n\}\subset L_2(X,\mu)$ ] converge uniformemente, también converge con respecto a la norma $\|\cdot\|_2$ [a la misma función, diría yo]
3. Si la secuencia $\{f_n\}$ de funciones sumables [perteneciente a $L_2(X,\mu)$ diría, por supuesto] converge con respecto a $\|\cdot\|_2$ también converge en $X$ en medida [a la misma función, diría yo].
4. Si la secuencia $\{f_n\}$ converge con respecto a $\|\|_1$ es posible extraer una subsecuencia $\{f_{n_k}\}$ que converge en casi todas partes [puntualmente].

A partir de las pruebas dadas por Kolmogorov y Fomin (pp. 387-388 aquí ) para el caso de $L_2(X,\mu)$ Estoy convencido de que todo lo que he escrito también es válido sustituyendo $L_2$ y $\|\cdot\|_2$ con $L_p$ y $\|\cdot\|_p$ , $p\geq 1$ . Con la precisión de que deberíamos tener $\{f_n\}\subset L_p(X,\mu)$ en el segundo punto. Es correcto todo lo que he escrito? ¡¡¡Gracias por cualquier respuesta!!!

Answer 1

Sí, todo es correcto. Lo importante es que si $\mu(X) < \infty$ entonces tenemos las inclusiones

$$L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)$$

para $1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty$ y por la desigualdad de Hölder

$$\lVert f\rVert_{p}\leqslant \lVert f\rVert_q\cdot \mu(X)^{\large\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}$$

estas inclusiones son continuas. Por lo tanto,

1. cualquier secuencia convergente en $L^q(X,\mu)$ también es convergente en $L^p(X,\mu)$ para todos $1 \leqslant p < q$ y tiene el mismo límite (por la continuidad de la inclusión, pero también podemos verlo extrayendo una subsecuencia convergente en casi todas partes).
2. La convergencia uniforme es ligeramente más fuerte que la convergencia en $L^\infty$ ( $L^\infty$ -es la convergencia uniforme en el complemento de algún conjunto nulo), por lo que toda secuencia uniformemente convergente lo es en todo $L^p$ tal que $f_n \in L^p(X,\mu)$ para cualquier tamaño de $n$ . Porque si $N\in\mathbb{N}$ es tal que para todo $x\in X$ tenemos $\lvert f_n(x) - f_N(x)\rvert \leqslant 1$ para todos $n\geqslant N$ entonces tenemos $f_n \in L^p(X,\mu) \iff f_N\in L^p(X,\mu)$ para todos $n\geqslant N$ y la secuencia $(g_k)$ donde $g_k = f_{N+k} - f_N$ es una secuencia convergente en $L^\infty(X,\mu)$ Por lo tanto $g_k\to g$ en todo $L^p(X,\mu)$ y $(f_n)_{n\geqslant N}$ por lo tanto, converge a $f_N + g$ en todo $L^p(X,\mu)$ con $f_N\in L^p(X,\mu)$ .
3. La noción más débil de convergencia en todos los $L^p(X,\mu)$ (donde $\mu(X) < \infty$ ) es el $L^1$ -convergencia, así que si vemos que $L^1$ -La convergencia implica la convergencia en la medida, se deduce para todo $p\in [1,\infty]$ . Para ver que $L^1$ -la convergencia implica la convergencia en la medida, supongamos que no fuera así, y tomemos una secuencia $f_n \xrightarrow{L^1} f$ de tal manera que hay un $\delta > 0$ y un $\eta > 0$ con $$\mu\left(\{ x : \lvert f_n(x) - f(x)\rvert > \delta\right) > \eta\tag{$ \N - El brindis $}$$ para todos $n$ [la negación de la definición de convergencia en medida da esa desigualdad para una subsecuencia $(f_{n_k})$ entonces restringimos nuestra atención a esa subsecuencia, por lo que podemos suponer que se cumple para todo $n$ ]. Además, utilizando 4., podemos suponer que $f_n(x) \to f(x)$ en el punto (casi en todas partes). Ahora el teorema de Egorov afirma que la convergencia es realmente uniforme en el complemento de conjuntos de medida arbitrariamente pequeña, es decir, para cada $\varepsilon > 0$ hay una medida de $E\subset X$ con $\mu(E) < \varepsilon$ tal que la convergencia es uniforme en $X\setminus E$ . Elección de $\varepsilon < \eta$ obtenemos una contradicción con $(\ast)$ .
4. Dado que una secuencia convergente $(f_n)$ es una secuencia de Cauchy, podemos extraer una subsecuencia tal que $\lVert f_m - f_{n_k}\rVert_1 < 2^{-k}$ para todos $m \geqslant n_k$ . Entonces $$\sum_{k=0}^\infty \lvert f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\rvert$$ es un convergente (en $L^1$ ) de funciones no negativas, por lo que es convergente puntualmente en todas partes, y alcanza el valor $\infty$ sólo en un conjunto nulo $N$ . En $X\setminus N$ la serie $$\sum_{k=0}^\infty \left(f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\right)$$ es absolutamente convergente, por lo que $(f_{n_k}(x))$ converge para todo $x\in X\setminus N$ .