Estoy atascado en un problema de la página 242 del libro de Arnold "Mathematical Methods of Classical Mechanics". El enunciado del problema es el siguiente:
Dejemos que $g(t): \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}$ sea una transformación canónica del espacio de fases en función del parámetro $t$ , dando nuevas coordenadas $\mathbf{P}$ y $\mathbf{Q}$ definido por $$g(t)(\mathbf{p}, \mathbf{q})=(\mathbf{P}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t), \mathbf{Q}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t)).$$ Demuestre que en las variables $\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t$ las ecuaciones canónicas (ecuaciones de Hamilton) tienen la forma canónica con la nueva función hamiltoniana $$ K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)=H(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t)+\frac{\partial S}{\partial t} $$ donde $$ S\left(\mathbf{p}_{1}, \mathbf{q}_{1}, t\right)=\int_{\mathbf{p}_{0}, \mathbf{q}_{0}}^{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{q}_{1}} \mathbf{p} d \mathbf{q}-\mathbf{P} d \mathbf{Q} \quad(d \mathbf{Q} \text { for fixed } t). $$
El problema es una generalización del teorema anterior, por lo que la solución debería ser similar a su demostración. Allí teníamos en cambio un mapa $g: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}$ Así que $g(t)$ pero a una hora determinada. Se comprobó que debido a $g$ siendo canónico $$ S\left(\mathbf{p}_{1}, \mathbf{q}_{1}\right):=\int_{\mathbf{p}_{0}, \mathbf{q}_{0}}^{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{q}_{1}} \mathbf{p} d \mathbf{q}-\mathbf{P} d \mathbf{Q} $$ está bien definida dando la forma diferencial $dS = \mathbf{p}d\mathbf{q}- \mathbf{P}d\mathbf{Q}$ . Esto puede ampliarse a $\mathbb{R}^{2n+1}$ de modo que tenemos la relación $$\mathbf{p}\,d\mathbf{q}-H\,dt = \mathbf{P}d\mathbf{Q}-H\,dt+dS.$$ Entonces por un corolario de la página anterior vemos que en las coordenadas $(\mathbf{P}, \mathbf{Q})$ las ecuaciones canónicas tienen la forma canónica $$ \frac{d \mathbf{P}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q}} \quad \frac{d \mathbf{Q}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial \mathbf{P}} $$ con función hamiltoniana: $K(\mathbf{P}, \mathbf{Q}, t)=H(\mathbf{p}, \mathbf{q}, t)$ .
Todo esto se trasladaría al problema con $g(t)$ excepto que $S$ depende del tiempo por lo que en la derivada exterior en $\mathbb{R}^{2n+1}$ tenemos $$dS = \mathbf{p}d\mathbf{q}- \mathbf{P}d\mathbf{Q}+\frac{\partial S}{\partial t}dt.$$ Mi problema con esto es que parece que lo mismo ocurre con $\mathbf{Q}(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$ por lo que debería decirse $$dS = \mathbf{p}d\mathbf{q}- \mathbf{P}\left(d\mathbf{Q}-\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial t}dt\right)+\frac{\partial S}{\partial t}dt.$$ ¿Por qué la segunda es incorrecta mientras que la primera es correcta (da la solución requerida)?
