$3y''+4y'+y=sin(t)e^{-t}, y(0)=1 y'(0)=0$

Question

Puedo conseguir que las dos soluciones sean $e^{\frac{-t}{3}}$ y $e^{-t}$ pero estoy obteniendo integrales que no funcionan cuando calculo $u_1$ y $u_2$ .

Para $W[y_1,y_2](t)$ Estoy recibiendo

$-e^{\frac{4t}{3}}+\frac{e^{-2t/3}}{3}$ , lo que no me parece correcto ya que no debería ser un problema complejo.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Para el caso homogéneo, $3u''(t)+4u'(t)+u(t)=0$ la solución general es ( $C_1$ y $C_2$ constantes arbitrarias): $$u(t)=C_1e^{-t/3}+C_2e^{-t}$$ Ahora, para el caso no homogéneo $3v''(t)+4v'(t)+v(t)=\sin(t)e^{-t}$ , adivinar una solución de la forma $e^{-t}(A\cos(t)+B\sin(t))$ con $A, B$ constantes, y resolver $A$ y $B$ diferenciando y utilizando la ecuación diferencial Encontrarás $A=\frac{2}{13}$ y $B=-\frac{3}{13}$ y por lo tanto la solución particular: $$v(t)=\frac{1}{13}e^{-t}(2\cos(t)-3\sin(t))$$ Se deduce que la solución general de la ecuación diferencial es: $$y(t)=C_1e^{-t/3}+C_2e^{-t}+\frac{1}{13}e^{-t}(2\cos(t)-3\sin(t))$$ Ahora rellena los valores iniciales para determinar las constantes $C_1$ y $C_2$ para ser $\frac{24}{13}$ y $-1$ respectivamente. Así que la respuesta final es: $$y(t)=\frac{24}{13}e^{-t/3}-e^{-t}+\frac{1}{13}e^{-t}(2\cos(t)-3\sin(t))$$

Answer 2

Estoy asumiendo que por $W[y_1,y_2]$ te refieres al Wronskian. Debería ser $$\det\pmatrix{e^{-t/3}&e^{-t}\cr -\frac13e^{-t/3}&-e^{-t}\cr} =-\frac23e^{-4t/3}\ .$$