Principio de reflexión frente a los universos

Question

En las discusiones sobre teoría de las categorías, a menudo existe la tentación de examinar la categoría de todos los grupos abelianos, o de todas las categorías, etc., lo que rápidamente conduce a los problemas habituales de la teoría de conjuntos. Éstos suelen evitarse utilizando los universos de Grothendieck. En el lenguaje de la teoría de conjuntos, se fija algún cardinal fuertemente inaccesible $\kappa$ -- esto significa que $\kappa$ es algún cardinal incontable tal que para todo $\lambda<\kappa$ También $2^\lambda<\kappa$ y para cualquier conjunto de $<\kappa$ muchos conjuntos $S_i$ de tamaño $<\kappa$ También su unión es de tamaño $<\kappa$ . Esto implica que la etapa $V_\kappa\subset V$ de "conjuntos de tamaño $<\kappa$ " es en sí mismo un modelo de ZFC -- al aplicar cualquiera de las operaciones sobre conjuntos, como tomar conjuntos de potencias o uniones, nunca se puede salir de $V_\kappa$ . Estos conjuntos se denominan entonces "pequeños", y entonces la categoría de grupos abelianos pequeños está definitivamente bien definida.

Históricamente, este enfoque fue utilizado por primera vez por Grothendieck; un texto fundacional más reciente es la obra de Lurie sobre $\infty$ -categorías. Sin embargo, su uso siempre ha creado una especie de reacción, ya que algunas personas no están dispuestas a dejar que los axiomas más allá de ZFC se cuelen en la literatura establecida. Por ejemplo, creo que en algún momento hubo una larga discusión sobre si el Último Teorema de Fermat ha sido demostrado en ZFC, ahora resuelta por McLarty. Más recientemente, he visto surgir argumentos similares para teoremas cuyas pruebas se refieren al trabajo de Lurie. (Personalmente, no tengo sentimientos fuertes sobre esto y entiendo los argumentos de cualquier manera).

Por otra parte, también ha ocurrido siempre que un examen más detallado revelaba que cualquier uso de los universos era de hecho innecesario. Por ejemplo, el Proyecto Stacks no utiliza universos. En su lugar, (véase Etiqueta 000H decir) debilita efectivamente la hipótesis de que $\kappa$ es fuertemente inaccesible, a algo así como un cardinal límite fuerte de cofinalidad incontable, es decir: para todo $\lambda<\kappa$ , uno tiene $2^\lambda<\kappa$ y siempre que tenga un contable colección de conjuntos $S_i$ de tamaño $<\kappa$ también la unión de los $S_i$ tiene tamaño $<\kappa$ . ZFC demuestra fácilmente la existencia de tales $\kappa$ y casi todos los argumentos que uno podría imaginar en la categoría de grupos abelianos también funcionan en la categoría de $\kappa$ -grupos abelianos pequeños para tales $\kappa$ . Si uno hace argumentos más complicados, se puede reforzar en consecuencia la hipótesis inicial sobre $\kappa$ . Yo mismo he tenido ocasión de jugar a este juego, véase la sección 4 de www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf para el resultado. A partir de esta experiencia, estoy bastante seguro de que se puede reescribir de forma similar la "Teoría de Topos Superiores" de Lurie, o cualquier otro trabajo teórico-categorial similar, de forma que se eliminen todos los cardinales fuertemente inaccesibles, sustituyéndolos por $\kappa$ con propiedades como las anteriores.

De hecho, parece que hay una teorema de la ZFC, el principio de reflexión (discutido brevemente en Etiqueta 000F del proyecto Stacks, por ejemplo), que parece garantizar que esto es siempre posible. A saber, para cualquier conjunto finito de fórmulas de la teoría de conjuntos, existe algún conjunto suficientemente grande $\kappa$ tal que, a grandes rasgos, estas fórmulas se mantienen en $V_\kappa$ si y sólo si se mantienen en $V$ . Esto parece decir que para cualquier conjunto finito de fórmulas, se puede encontrar algún $\kappa$ tal que $V_\kappa$ se comporta como un universo con respecto a estas fórmulas, ¡pero por favor, corríjanme en mi muy ingenua comprensión del principio de reflexión! (Un hecho relacionado es que ZFC demuestra la consistencia de cualquier fragmento finito dado de los axiomas de ZFC).

Por otra parte, un texto matemático cualquiera sólo contiene un número finito de fórmulas (a menos que enuncie un "esquema de teoremas", lo que no suele ocurrir, creo). Por lo tanto, la pregunta está formulada de forma ligeramente provocativa:

¿Implica el principio de reflexión que debe ser posible reescribir la Teoría del Topo Superior de forma que se evite el uso de universos?

Edición (28.01.2021): ¡Muchas gracias por todas las respuestas tan útiles! Creo que ahora tengo una idea mucho más clara de la situación, pero sigo sin saber exactamente cuál es la respuesta a la pregunta.

Por lo que tengo entendido, (a grandes rasgos) el mejor metateorema en este sentido es el siguiente (especializado en HTT). Recordemos que la HTT fija dos cardinales fuertemente inaccesibles $\kappa_0$ y $\kappa_1$ , dejando así espacio para los pequeños (en $V_{\kappa_0}$ ), grandes (en $V_{\kappa_1}$ ), y muy grande (en $V$ ). Se puede entonces intentar leer HTT en el siguiente sistema de axiomas (este es esencialmente el del artículo de Feferman "Set-theoretic foundations of category theory", y también ha sido propuesto en la respuesta de Rodrigo Freire más abajo).

(i) Los axiomas habituales de ZFC

(ii) Otros dos símbolos $\kappa_0$ y $\kappa_1$ con los axiomas de que son cardinales, que la cofinalidad de $\kappa_0$ es incontable, y que la cofinalidad de $\kappa_1$ es mayor que $\kappa_0$ .

(iii) Un esquema de axiomas, que dice que para cada fórmula $\phi$ de la teoría de conjuntos, $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ y $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$ .

Entonces se puede utilizar el principio de reflexión para demostrar (ver la respuesta de Rodrigo Freire más abajo para un esbozo de la prueba):

Teorema. Este sistema de axiomas es conservador sobre ZFC. En otras palabras, cualquier teorema de este sistema formal que no se refiera a $\kappa_0$ y $\kappa_1$ es también un teorema de ZFC.

Esta es precisamente la conclusión que me gustaría tener.

Tenga en cuenta que $V_{\kappa_0}$ y $V_{\kappa_1}$ son modelos de ZFC, pero (¡críticamente!) esto no se puede demostrar dentro del sistema formal, ya que ZFC no es finitamente axiomatizable, y sólo cada axioma individual de ZFC se plantea por (iii).

Una cosa buena de este sistema de axiomas es que permite explícitamente los argumentos ocasionales de la forma "demostramos este teorema para categorías pequeñas, pero entonces también podemos aplicarlo a categorías grandes".

Una pregunta más precisa es entonces:

¿Funcionan los argumentos de HTT en este sistema formal?

Mike Shulman en la sección 11 de https://arxiv.org/abs/0810.1279 da una exposición muy clara de cuál es el problema potencial aquí. A saber, si tienes un conjunto $I\in V_{\kappa_0}$ y establece $S_i\in V_{\kappa_0}$ para $i\in I$ No se puede concluir que la unión de los $S_i$ está en $V_{\kappa_0}$ . Esta conclusión sólo está garantizada si la función $i\mapsto S_i$ también se define en $V_{\kappa_0}$ (o si $I$ es contable, por el supuesto extra de cofinalidad incontable). En la práctica, esto significa que cuando se quiere afirmar que algo es "pequeño" (es decir, en $V_{\kappa_0}$ ), este juicio se refiere no sólo a los objetos, sino también a los morfismos, etc. No me queda claro ahora hasta qué punto esto es un problema, tendría que pensar más en ello; de hecho, podría imaginar que es bastante fácil leer HTT para cumplir con este sistema formal. Shulman dice que, con esta advertencia, el teorema del functor adjunto puede demostrarse, y como dice Lurie en sus respuestas, los argumentos en HTT son de una complejidad teórica de conjuntos similar. Sin embargo, me interesaría que se juzgara si la respuesta a la pregunta es "Sí, tal como está escrito" o más bien "Probablemente sí, pero hay que esforzarse un poco" o de hecho "No realmente". (Espero sinceramente que los expertos sean capaces de ponerse de acuerdo sobre dónde se sitúa la respuesta en este espectro).

Una última observación: El supuesto de "incontabilidad" anterior puede parecer un poco arbitrario; ¿por qué no permitir algunas uniones ligeramente mayores? Una forma de hacerlo es añadir un símbolo $\kappa_{-1}$ con las mismas propiedades, y pedir en cambio que la cofinalidad de $\kappa_0$ es mayor que $\kappa_{-1}$ . Del mismo modo, es posible que se quiera sustituir el límite $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ por un límite ligeramente más fuerte como $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$ digamos. De nuevo, si simplifica las cosas, uno podría entonces simplemente apretar otro $\kappa_{1/2}$ en el medio, para que $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ y $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$ . De esta forma no hay que preocuparse de si alguno de los objetos "estándar" que aparecen en algunas pruebas siguen siendo de tamaño contable, o si se pueden seguir tomando colímites en $V_{\kappa_1}$ cuando los conjuntos de índices no son exactamente de tamaño limitado por $\kappa_0$ pero han sido manipulados un poco.

PD: Recién ahora estoy encontrando todas las preguntas y respuestas relevantes de MO anteriores. Algunas muy relevantes son las respuestas de Joel Hamkins ici y ici .

Answer 1

Voy a aventurarme a sugerir que el libro HTT nunca utiliza nada más fuerte que la sustitución de $\Sigma_{15}$ -fórmulas de la teoría de conjuntos. (Aquí $15$ es un número grande elegido al azar, y HTT es un libro de matemáticas elegido al azar que no trata específicamente de la teoría de conjuntos).

Answer 2

Reflexionando sobre el comentario de Gabe a mi respuesta original, ahora creo que lo que escribí es engañoso porque confunde dos afirmaciones distintas (pero relacionadas):

1. La existencia de cardinales fuertemente inaccesibles no es realmente necesaria en la teoría de categorías.

2. Toda la fuerza de ZFC no es realmente necesaria en la teoría de la categoría.

Estoy de acuerdo con ambas afirmaciones, pero creo que la mejor manera de convencer a alguien de 1) no sería combinar 2) con un principio de reflexión: es decir, no se debería intentar sustituir el uso de un cardinal fuertemente inaccesible $\kappa$ por uno para el que $V_{\kappa}$ modela una gran parte de ZFC.

Tal y como yo lo veo, el "problema" que resuelven los universos es justificar la combinación de dos tipos de razonamiento:

A) A veces es útil demostrar teoremas sobre categorías pequeñas $\mathcal{C}$ incrustándolas en categorías "grandes" (por ejemplo, utilizando la incrustación de Yoneda) que tienen bonitas características adicionales: por ejemplo, la existencia de límites y colímites.

B) Las categorías grandes también son categorías, por lo que cualquier teorema que se aplique a las categorías en general también debería aplicarse a las categorías grandes.

Si sólo te preocupara B), entonces un principio de reflexión podría ser relevante. Elección de un cardinal $\kappa$ tal que $V_{\kappa}$ satisface una gran parte de ZFC, se puede redefinir "categoría pequeña" para que signifique "categoría que pertenece a $V_{\kappa}$ " y "gran categoría" para significar "categoría no necesariamente perteneciente a $V_{\kappa}$ ", y puedes estar seguro de que todos los teoremas básicos que quieras son válidos en ambos casos.

Pero si también te preocupa A), entonces esto no es necesariamente útil. Digamos que empiezas con una categoría $\mathcal{C}$ perteneciente a $V_{\kappa}$ y quieres alguna versión de la incrustación de Yoneda. Una opción natural sería incrustar en la categoría de funtores de $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ a la categoría de conjuntos de tamaño $<\tau$ (o algún modelo equivalente), para algún cardinal $\tau$ . Una primera suposición es que debe tomar $\tau = \kappa$ pero creo que esto sólo tiene sentido $\kappa$ es fuertemente inaccesible (de lo contrario, algunos conjuntos de Hom serán demasiado grandes). En cualquier caso garantiza que esta construcción tiene buenas propiedades, vas a querer exigir diferentes propiedades del cardenal $\tau$ . Por ejemplo, si quieres que esta categoría de presheaves tenga muchos colimits, entonces vas a querer $\tau$ para tener una gran cofinalidad. Y si empiezas a pensar en qué tipo de suposiciones adicionales podrías tener que hacer, vuelves a estar donde empezaste: pensando en qué tipo de estimaciones de cardinalidad garantizan que las "preseries de conjuntos de tamaño $< \tau$ " son una buena aproximación a la categoría de todos los presheaves de conjuntos. Así que el principio de reflexión no ayuda realmente a evitar esos problemas.

(Edición: Me he dado cuenta después de escribir que el texto de abajo es más que nada una reiteración del post original de Peter. Pero lo dejaré aquí por si alguien lo encuentra útil).

Si se quiere una formalización rigurosa en algo como ZFC, probablemente lo mejor sea prescindir de las grandes categorías por completo. Entonces B) no es un problema. Para tratar A), permítanme señalar que muchas de las categorías "grandes" de las que se quiere hablar surgen de una manera particular: se empieza con una categoría pequeña $\mathcal{C}$ que ya tiene ciertos tipos de colímetros, y amplía formalmente $\mathcal{C}$ para hacer una categoría más grande $\mathcal{C}^{+}$ que tiene colímetros arbitrarios (sin cambiar los que tenía al principio). Las categorías que surgen de esta manera se llaman localmente presentable y hay una fórmula sencilla para $\mathcal{C}^{+}$ es la categoría de los funtores $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ que conservan los límites con los que se empezó (es decir, los colímetros con los que se empezó en $\mathcal{C}$ ).

Ahora bien, si quieres imitar esto en el mundo de las categorías pequeñas, podrías elegir en su lugar algún cardenal $\kappa$ y en su lugar contemplar los funtores $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $ |kappa $} \}$ que equivale a una pequeña categoría $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ . La cuestión que se plantea es si es un sustituto lo suficientemente bueno para la categoría grande $\mathcal{C}^{+}$ arriba. Por ejemplo, ¿tiene muchos límites y colímetros? No es razonable pedir que tenga todo colímetros, pero en su lugar podría preguntar lo siguiente:

P) ¿La categoría $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ tienen colímetros indexados por diagramas de tamaño $< \kappa$ ?

La respuesta a Q) es "no en general, pero sí si $\kappa$ está bien elegido". Por ejemplo, si se tiene algún cardinal infinito $\lambda$ limitando el tamaño de $\mathcal{C}$ y el número de diagramas colímite con los que se empieza, entonces creo que se puede garantizar (i) tomando $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (y la categoría $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ puede ser caracterizado por la propiedad universal esperada). Además, para demostrar esto no se necesita ninguna forma de sustitución.

Ahora también se podría preguntar lo siguiente:

Q') ¿La categoría $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ tienen límites indexados por diagramas de tamaño $< \kappa$ ?

En este caso, la respuesta suele ser "no", a menos que $\kappa$ es fuertemente inaccesible. Pero si sólo te interesan los límites de un tipo concreto (por ejemplo, si estás estudiando los topoi de Grothendieck, puede que te interesen especialmente los límites finitos), entonces la respuesta volverá a ser "sí para $\kappa$ bien elegido". Y esto es algo que se puede demostrar usando muy poco de ZFC.

Ahora bien, mi afirmación es que, basándome en mi experiencia, la discusión anterior es representativa del tipo de preguntas que te encontrarás al tratar de navegar por la distinción entre las categorías "pequeñas" y "grandes" (ciertamente es representativa de la forma en que estas cosas surgen en mi libro, sobre el que la pregunta original preguntaba). En la práctica, nunca hay que hablar de la en su totalidad de una gran categoría como $\mathcal{C}^{+}$ ; es suficiente para construir una pieza lo suficientemente grande (como $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ ) con las características que desea ver, que puede organizar eligiendo $\kappa$ con cuidado.

Me parece conceptualmente más claro ignorar la cuestión de cómo se formalizan las cosas en ZFC y plantear las cosas en términos de la categoría "grande" $\mathcal{C}^{+}$ , remitiéndose a sus "pequeñas" aproximaciones $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ sólo como auxiliares en una prueba (¡que inevitablemente seguirá apareciendo en alguna parte!). La invocación de los "universos" es sólo una forma de escribir de esta manera mientras se sigue prestando atención al marco axiomático de ZFC, y es definitivamente innecesaria.

Answer 3

Me gustaría mencionar algo que creo que aún no se ha señalado. La pregunta original comenzaba con

En el lenguaje de la teoría de conjuntos, uno fija algún cardinal fuertemente inaccesible $\kappa$ ... Esto implica que el escenario $

Answer 4

Si lo he entendido bien, buscas una declaración de la forma :

"Si algo se demostró en la HTT usando universos, se puede demostrar sin ellos restringiendo a algunos $V_\kappa$ para $\kappa$ suficientemente grande"

La respuesta rigurosa a esto, si no tenemos más información sobre la HTT, es que no puede haber tal afirmación si la ZFC es consistente.

De hecho, es posible que la existencia de universos sea inconsistente (de hecho no es posible probar que sea consistente), y en esa situación, cualquier cosa puede ser probada usando universos, y por lo tanto tal afirmación implicaría que cualquier cosa puede ser probada, es decir, ZFC es inconsistente.

Estoy siendo un poco chapucero en cuanto a lo que es demostrable en qué, etc., pero la idea principal está ahí

Por supuesto, sabemos cosas sobre la HTT, y si la leemos con atención podemos analizar dónde utiliza universos, y ver que, de hecho, pueden ser sustituidos por modelos transitivos de sustitución de ZC+ hasta $\Sigma_{15}$ -fórmulas, como señala Jacob. En ese caso, dado que es posible demostrar que existen modelos de buen comportamiento (de la forma $V_\kappa$ , para $\kappa$ bien elegido), esto no es un problema; y HTT puede ser reescrito sin universos - pero esto no puede ser probado sin el conocimiento de lo que está en HTT.

La "moraleja" de esto es que, en la mayoría de las cuestiones de la teoría de la categoría principal, los universos son un dispositivo para ahorrar tiempo, y no una parte real de las matemáticas.

Answer 5

La respuesta a esta pregunta depende en gran medida de lo que se quiera obtener exactamente de la Teoría de Topos Superiores, ya que expresar una gran fuerza lógica es un objetivo diferente al de expresar un marco lógico adecuadamente unificado para la geometría algebraica y la teoría de números.  Los fundamentos fuertes unificados para la matemática categórica general son un buen objetivo, y parecen ser el objetivo de muchos contribuyentes aquí.  Para ese objetivo, todo lo que se ha dicho en los comentarios y respuestas a esta pregunta es relevante. Pero el trabajo apto en geometría y teoría de números no requiere una gran fuerza lógica.

Como ejemplo típico y pertinente, a lo largo de toda su obra, hasta donde puedo encontrar, Grothendieck sólo hizo un llamamiento al (muy fuerte) esquema axiomático de sustitución.  Eso es en su prueba bastante crucial de que toda categoría AB5 con un conjunto generador tiene suficientes injectivos.   Y este uso de la sustitución resulta ser eliminable.  Funcionó, pero Grothendieck no lo necesitaba para obtener su resultado.

Mucha gente procedente de ángulos muy diferentes (algunos lógicos, otros con aversión a la lógica) desde los años 60 ha comentado que en el contexto de la geometría algebraica y la teoría de números, la gran fuerza lógica del axioma del universo de Grothendieck, es un subproducto realmente no utilizado del deseo de Grothendieck de un marco unificado para la cohomología.  Ahora se puede precisar bastante:  Todo el aparato de Grothendieck, incluyendo no sólo la cohomología de funtores derivados de topos, sino la categoría 2 de topos, y las categorías derivadas, puede formalizarse casi exactamente de la misma manera en que fue formalizado por Grothendieck, pero con una fuerza lógica muy por debajo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel o incluso de Zermelo.    Lo mismo ocurre con la HTT.  Se puede conseguir sin universos inaccesibles  o la reflexión siempre que se haga pas necesitan la enorme (y poco utilizada) fuerza de la sustitución.  La prueba no se ha dado realmente para el HTT.  Ha sido para la de Grothendieck usos de los universos . Parece claro que lo mismo funcionará para HTT.

La fuerza lógica necesaria se ha expresado de forma indiferente:  Teoría de Tipos Simple (con aritmética), Aritmética de Orden Finito, Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos, Teoría de Conjuntos de Zermelo con Cuantificador Limitado.  A grandes rasgos, se plantea un conjunto de números naturales, y se plantea que cada conjunto tiene un conjunto potencia, pero no se plantea la iteración ilimitada de conjuntos potencia.  Se puede dar una teoría de universos bastante ingenua conservadora sobre cualquiera de ellos (del modo en que la teoría de conjuntos de Godel-Bernays es conservadora sobre ZFC) y adecuada a todo el aparato de grandes estructuras de la escuela de Grothendieck.