Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js

11 votos

Mejor expresión para el siguiente operador diferencial

Tengo la siguiente secuencia de operadores diferenciales:

Dn=ttttttn times.

Es allí cualquier expresión que implique una suma de "normal" diferencial de operador? Que es una suma de diferentes potencias (a a n)? He tratado de establecer una relación de recurrencia, pero realmente no tengo ni idea de cómo íbamos a resolver que para (unbounded) los operadores.

La recursividad no es tan difícil, Dn=ttDn1, pero si que sea de ayuda...

En particular, me gustaría aplicar esta a la función e2xtt2.

8voto

user26872 Puntos 11194

Los números de Stirling de \newcommand\s[2]{\left\{#1\cima #2\right\}} \def\d{\partial_t}

Como @HenningMakholm notas, no es difícil ver que D_n = \sum_{k=1}^n a_k^n t^k \d^k, donde a_k^n \in \mathbb{N}. Considere la posibilidad de D_{n+1} = D_1 D_n. Nos encontramos D_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k^{n+1} t^k \d^k donde \begin{equation*} a_k^{n+1} = a_{k-1}^n + k a_k^n \tag{1} \end{ecuación*} con la condición de a_0^n = a_{n+1}^n = 0n\ge 1. También tenemos a_1^1 = 1, ya que el D_1 = t \d.

El uso de (1) es posible demostrar que un conjunto equivalente de las condiciones de contorno esa_0^0 = 1a_0^n = a_n^0 = 0. Esto implica, como @RahulNarain notas en los comentarios, que el a_k^n son los números de Stirling del segundo tipo, \begin{eqnarray*} D_n &=& \sum_{k=1}^n \s{n}{k} t^k \d^k \\ &=& t \d + (2^{n-1}-1)t^2\d^2 + \ldots + \frac{1}{2}n(n-1) t^{n-1}\d^{n-1} + t^n\d^n. \end{eqnarray*}

No está claro cuál es el objetivo final de la aplicación de este operador para la generación de la función de los polinomios de Hermite. Uno puede mostrar, por ejemplo, que D_n e^{2xt-t^2} = \sum_{k=1}^n \s{n}{k} \sum_{m=0}^\infty H_{m+k}(x) \frac{t^{m+k}}{m!}.

Cambio de variables

Otra manera es dejar que t = e^s. A continuación, D_n = \partial_s^n. Por lo tanto, debemos calcular \partial_s^n \exp(2x e^s - e^{2}) = \partial_s^n \sum_{k=0}^\infty H_k(x) \frac{e^{k s}}{k!}. Nos encontramos D_n e^{2xt-t^2} = \sum_{k=1}^\infty H_k(x) \frac{k^n t^k}{k!}.

7voto

Matt Dawdy Puntos 5479

El Weyl "álgebra" \mathbb{Z}[t, \partial_t] actos fielmente en el polinomio anillo de \mathbb{Z}[t] en la forma obvia. El último se clasifica por grados, t se plantea grado por 1, \partial_t disminuye el grado de 1, e t \partial_t conserva grado: de hecho (t \partial_t) t^m = m t^m.

Así (t \partial_t)^n t^m = m^n t^m.

Una base para el espacio de grado-la preservación de los elementos del álgebra de Weyl es dado por t^k \partial_t^k, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}, y (t^k \partial_t^k) t^m = m(m-1)...(m-k+1) t^m = (m)_k t^m

donde (m)_k denota la caída de factorial. Así, con el fin de encontrar los coeficientes de a_{n,k} tal que (t \partial_t)^n = \sum_k a_{n,k} t^k \partial_t^k

es necesario y suficiente para encontrar los coeficientes de a_{n,k} tal que m^n = \sum_k a_{n,k} (m)_k

para todos los m. Desde los polinomios (m)_k forman una base del espacio de polinomios, los coeficientes de a_{n,k} existen de forma única, y de hecho esta es una manera de definir los números de Stirling del segundo tipo.

La combinatoria interpretación es la siguiente: m^n cuenta el número de funciones de [n] \to [m] donde [n] = \{ 1, 2, ... n \}. Los anteriores grupos de identidad de estas funciones de acuerdo con el tamaño de su gama: hay (m)_k rangos posibles de tamaño k a_{n,k} funciones [n] \to [m] tener rango fijo subconjunto de [m] del tamaño de la k. (Esta es la misma cosa como una relación de equivalencia en [n] k clases de equivalencia tomando preimages.)

5voto

sewo Puntos 58

El uso de la regla de Leibniz \partial_t t=1+t\partial_t I get t\partial_t t^n\partial_t^n = n t^n\partial_t^n + t^{n+1}\partial_t^{n+1} por lo que su D_n \sum_{i=1}^n a_i t^i \partial_t ^i para algunos combinatoria coeficientes de a_i \in \mathbb N.

Es que la dirección que estás buscando?

Aquí están algunos de los coeficientes:

n=1   1
n=2   1   1
n=3   1   3   1
n=4   1   7   6    1
n=5   1  15  25   10    1
n=6   1  31  90   65   15   1
n=7   1  63 301  350  140  21   1
n=8   1 127 966 1701 1050 266  28   1

Vemos que a_1=1, a_2=2^n-1, y a_{n-1} son los números triangulares. Entre que no parece muy familiar. (Pero vea Rahul el comentario de abajo!)

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X