Expansiones de un número real $x$

Question

Estoy completamente perdido sobre qué hacer con el siguiente problema.

Dejemos que $p$ sea un número natural mayor que $1$ y que $x$ sea un número real con $0\leq x\leq 1$ . Demuestre que existe una secuencia de enteros $\{a_{n}\}$ avec $0\leq a_{n}<p$ para cada $n$ tal que $x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{p^{n}}$ y que la secuencia es única excepto cuando $x$ es de la forma $\frac{q}{p^{n}}$ , $0<p<q$ en cuyo caso hay exactamente dos secuencias de este tipo.

A la inversa, demuestre que si $\{a_{n}\}$ es cualquier secuencia de enteros con $0\leq a_{n}<p$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{p^{n}}$ converge a un número real $x$ avec $0\leq x\leq 1$ .

Como ya he dicho, estoy completamente perdido, así que se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos, para simplificar, que $0\le x < 1$ ( el caso $x=1$ puede tratarse por separado).

Por lo tanto, teniendo en cuenta $x$ podemos describir el procedimiento para encontrar $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ de la siguiente manera.

Denotemos para la uniformidad $x_1=x$ . Tenemos $0\le x_1 < 1$ así que $$0 \le p \cdot x_1 < p$$ . Tome $a_1$ para ser la parte integral de $p x_1$ . Será un número del conjunto $\{0, 1, \ldots, p-1\}$ . Podemos escribir $$px_1 = a_1 + x_2$$ , donde $x_2$ es la parte fraccionaria de $px_1$ Es decir $$a_1 = [p\cdot x_1]\\ x_2 =\{p \cdot x_1\}$$ En general, definimos recursivamente $$a_{n} = [p\cdot x_n]\\ x_{n+1} = \{p \cdot x_n\}$$ para todos $n\ge 1$ . Vemos que tenemos $a_n\in \{0,1,\ldots, p-1\}$ para todos $n\ge 1$ . De las igualdades anteriores obtenemos $$x_{n} = \frac{a_n}{p} + \frac{x_{n+1}}{p}$$ para todos $n\ge 1$ . De ello se desprende que tenemos $$x = x_1 = \frac{a_1}{p} + \frac{a_2}{p^2} + \cdots + \frac{a_n}{p^n} + \frac{x_{n+1}}{p^n}$$ para todos $n$ . Desde $0\le x_{n+1} < 1$ obtenemos $$0 \le x - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{p^k} < \frac{1}{p^n}$$

Así que tenemos un procedimiento para encontrar la escritura requerida de $x$ como una suma (potencialmente) infinita. (El procedimiento se detendrá si en algún momento obtenemos $x_{n+1}=0$ ).

Recomiendo encontrar algunos $x_n$ y $a_n$ 's para algo concreto $p$ y $x$ ( digamos que con una calculadora de bolsillo).