Comprobación de pruebas $(\log\log n) /(\log n)$ se acerca a cero

Question

Prueba : Si $|a| < 1$ entonces $(na^n)$ es una secuencia nula por lo tanto si $b>1$ entonces ${n\over (b)^n}$ es una secuencia nula.Siempre hay un $m$ tal que para cada $n > m$ $${n\over (b)^n} <\epsilon' = {\epsilon\over b}$$ Ahora bien, si g es la característica de $\log\log n$ entonces $g\le \log\log n\lt g+1$ . Por lo tanto, $${\log\log n\over \log n} < {g+1\over (b)^g}= b{g+1\over (b)^ {g+1}}$$ Así que si elegimos $n>b^{b^m}$ tendríamos $g+1 > m$ y así $|{\log\log n\over \log n}| < \epsilon$ . (Nota al margen: para el logaritmo la base b > 1 que se está utilizando aquí y el teorema).

Answer 1

Otra manera:

$$\lim_{n\to\infty }\frac{\ln(\ln(n))}{\ln n}\underset{m=\ln n}{=}\lim_{m\to\infty }\frac{\ln m}{m}\underset{\text{(Hospital)}}{=}\lim_{m\to\infty }\frac{1}{m}$$

Entonces, si $N=\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1$ , tienes que $$\left|\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right|<\varepsilon$$ si $n\geq N$ lo que demuestra la afirmación.