Convergencia en $L^p$ con propiedades dadas

Question

Dejemos que $p\in [1,\infty[$ , $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ sea un espacio de probabilidad y $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ sea una secuencia de funciones medibles $f_n : \Omega \to \mathbb R$ y $f:\Omega \to \mathbb R$ con las siguientes propiedades:

$\forall \omega \in \Omega: f_n(\omega) \to f(\omega)$ y
$\sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert f_n 1_{\{\lvert f_n \rvert > m\}}\right \rVert_p \to 0$ como $m\to \infty.$

Demuestra que $$\lVert f_n - f \rVert_p \to 0.$$

He podido demostrar una desigualdad:
Tenemos $$0 = \int \lvert f-f|^p d\mu = \int \liminf_{n\to \infty} |f_n - f|^p d\mu \leq \liminf_{n\to \infty}\int \lvert f_n - f \rvert ^p d\mu = \liminf_{n\to \infty} \lVert f_n -f\rVert_p^p$$ por el lema de Fatous. Pero, ¿cómo demostrar la otra dirección? La segunda propiedad me resulta difícil de entender. Intenté obtener una cota que implicara la medida de un conjunto ya que $\mu $ es finito pero siento que necesito una pista.

Answer 1

Tomaré $p=1$ para simplificar. Reclamación: $\{f_n\}$ es uniformemente integrable.

Prueba de ello: Sea $\epsilon>0.$ Elija $m$ tal que $\int_{|f_n|>m} |f_n| <\epsilon/2$ para todos $n.$ Set $\delta = \epsilon/(2m).$ Si $\mu(E) < \delta,$ entonces

$$\int_E |f_n| = \int_{E\cap \{|f_n|\le m\}} |f_n| + \int_{E\cap \{|f_n|> m\}} |f_n| \le m\cdot \delta + \epsilon/2 <\epsilon.$$

Esto demuestra la afirmación. El lema de Fatou deja claro entonces que $\{f_n\}\cup \{f\}$ es uniformemente integrable. Por lo tanto, $\{ |f_n-f|\}$ es uniformemente integrable.

Dejemos que $\epsilon>0$ de nuevo. Elija $\delta >0$ tal que $\mu(E) < \delta$ implica $\int_E |f_n-f| < \epsilon$ para todos $n.$ Por Egorov, existe un conjunto $E, \mu(E) < \delta,$ tal que $f_n\to f$ uniformemente en $\Omega \setminus E.$ Así,

$$\int_{\Omega} |f_n-f| \le \int_{\Omega \setminus E} |f_n-f| + \int_E |f_n-f| < \epsilon.$$

La primera integral de la derecha $\to 0$ por la convergencia uniforme y el hecho de que estamos en un espacio de medidas finito. Así, $\limsup \int_{\Omega} |f_n-f| \le \epsilon.$ Desde $\epsilon$ era arbitraria, tenemos $\int_{\Omega} |f_n-f| \to 0$ como se desee.

Answer 2

Supongamos que $M_0 \ge 0$ tal que $\sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert f_n 1_{\{\lvert f_n \rvert > M_0\}}\right \rVert_p \le 1$ .

• $(||f_n||_p)_n$ está uniformemente acotada. $$\sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert f_n \right \rVert_p \le \sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert f_n 1_{\{\lvert f_n \rvert \le M\}}\right \rVert_p + \sup_{n\in \mathbb N} \left \lVert f_n 1_{\{\lvert f_n \rvert > M\}}\right \rVert_p \le M_0 + 1$$
• $f \in L^p(\Omega, \mathcal A, \mu)$ por la convergencia puntual $f_n \to f$ , $|f| = \lim\limits_{n\to\infty}|f_n|$ Así que $|f| = \limsup_n |f| \le \sup_n |f_n|$ . $$||f||_p \le \sup ||f_n||_p \le M_0 + 1$$
• $f_n \to f$ en $L^p(\Omega, \mathcal A, \mu)$ : Para cualquier $M>0$ , \begin{align} & ||f_n - f||_p \\ &\le ||(f_n - f) 1_{\{|f_n-f| \le \epsilon\}}||_p + ||(f_n - f) 1_{\{\epsilon < |f_n-f| \le 2M\}}||_p + ||(f_n - f) 1_{\{|f_n-f| > 2M\}}||_p \\ &\le \epsilon + 2M \mu \{|f_n-f|>\epsilon\} + || (|f_n| + |f|) 1_{\{|f_n| \vee |f| > M\}} ||_p \\ &\le \epsilon + 2M \mu \{|f_n-f|>\epsilon\} + 2 \underbrace{|||f_n| 1_{\{|f_n|>M\}}||_p}_{|f_n| \text{ is larger}} + 2 \underbrace{|||f| 1_{\{|f|>M\}}||_p}_{|f| \text{ is larger}} \\ &\le \epsilon + 2 \underbrace{M\mu \{|f_n-f|>\epsilon\}}_{\substack{\text{convergence a.e implies} \\ \text{convergence in measure} \\ \text{in probability space}}} + 2 \underbrace{\sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert f_n 1_{\{\lvert f_n \rvert > M \}}\right \rVert_p }_{\substack{\text{given: no escape from} \\ \text{vertical infinity}}} + 2 \underbrace{|||f| 1_{\{|f|>M\}}||_p}_{f \in L^p(\Omega,\cal A, \mu)} \end{align}

Dejemos que $M > 0$ sea lo suficientemente grande como para que

1. $\sup_{n\in \mathbb N}\left \lVert |f_n| 1_{\{\lvert f_n \rvert > M \}}\right \rVert_p < \epsilon$
2. $|||f| 1_{\{|f|>M\}}||_p < \epsilon$

Dejemos que $N \in \Bbb{N}$ sea lo suficientemente grande como para que para todo $n \ge N$ , $\mu\{|f_n-f|>\epsilon\} \le \dfrac{\epsilon}{M}$

Por lo tanto, $||f_n - f||_p \le 7 \epsilon$ para todos $n \ge N$ . Esto muestra $f_n \xrightarrow[n\to\infty]{L^p(\Omega,\cal A, \mu)} f$

Observaciones:

1. Terence Tao describe la segunda propiedad en el cuerpo de la pregunta como " no se puede escapar al infinito vertical ".
2. Me he saltado un paso para simplificar las escrituras de las funciones de los indicadores. Por favor, refiérase a mis discusiones con saz en los comentarios a continuación.
3. De hecho, hemos comprobado el resultado con un más débil supuesto: convergencia en la medida $f_n \stackrel{\mu}{\to} f$ en lugar de la convergencia en casi todas partes, basándose en la suposición de que $\mu(\Omega) < +\infty$ .
   • La ventaja de este enfoque es que no necesitan una convergencia en casi todas partes, lo que es necesario para aplicar el teorema de Egorov.
   • Abandonar la condición $\mu(\Omega) < +\infty$ invalida esta respuesta ya que la RHS de $$||(f_n - f) 1_{\{|f_n-f| \le \epsilon\}}||_p \le \epsilon \mu(\Omega)$$ es ya no es finito .