Error de aproximación de la integral doble con su suma de Riemann

Question

Tengo una integral doble que quiero evaluar numéricamente aproximando esta integral con su suma de Riemann. La integral es de la siguiente forma $$ \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} f(x,y)dxdy\approx\sum_{n=1}^{K}\sum_{m=1}^{J}f(n\delta_x,m\delta_y)\delta_x\delta_y$$

Existen límites superiores en el error de la aproximación para una integración como $\int_{a}^{b} f(x)dx$ . Sin embargo, no he encontrado ningún límite para el error de las integrales dobles.

¿Cómo puedo elegir $\delta_x$ y $\delta_y$ tal que:

$$\left|\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} f(x,y)dxdy-\sum_{n=1}^{K}\sum_{m=1}^{J}f(n\delta_x,m\delta_y)\delta_x\delta_y\right|\leq \epsilon$$ para un $\epsilon$ conociendo $f(x,y)$ ?

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PD: En mi problema actual la función $f()$ es :

$$f(I,I')=Q\left(\frac{\eta T \frac{I+I'}{v\nu}}{\sqrt{m_1'I+m_0'I'+2\sigma_n^2}}\right)\frac{1}{2I} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} \exp\left\lbrace \frac{[\ln(I)-\ln(I_0)]^2}{8\sigma_X^2} \right\rbrace\nonumber\\ \times\frac{1}{2I'} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}} \exp\left\lbrace \frac{[\ln(I')-\ln(I_0)]^2}{8\sigma_X^2} \right\rbrace$$ donde $Q(.)$ es la integración de una distribución gaussiana normalizada

Answer 1

La forma más fácil sería hacer una aproximación en dos pasos: Escribir $$ \int_{0}^{b} f(x,y)\,dx\approx\sum_{n=1}^{K}f(n\delta x,y)\delta_x $$ y estimar el error en esta aproximación, luego integrar sobre $y$ para conseguir $$ \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} f(x,y)\,dx\,dy\approx \int_{0}^{a}\sum_{n=1}^{K}f(n\delta x,y)\delta_x\,dy $$ observando que su estimación de error de arriba se integra ahora desde $0$ à $a$ y luego estimar la integral de la derecha con una suma de Riemann, aplicando de nuevo las estimaciones de error unidimensionales.