Así que mi pregunta es: ¿es la repulsión de Pauli un fenómeno que tampoco explicado en términos de cualquiera de las otras tres fuerzas que conocemos? conocemos?
$\def\ket#1{|#1\rangle} \let\up=\uparrow \let\dn=\downarrow \def\PD#1#2{{\partial#1\over\partial#2}}$ No hay repulsión ni fuerza inexplicable. También añadiría que PEP es una forma anticuada de describir la materia. En QM se debería hablar más bien de antisimetría de los estados de los fermiones. Sólo cuando construimos un estado de muchas partículas como un producto tensorial de estados de una partícula, la antisimetría nos obliga a mantener sólo estados diferentes para cada partícula individual. Un ejemplo sencillo con dos partículas lo explicará (espero).
Dos fermiones idénticos en un pozo infinito
Consideremos las partículas en una dimensión, limitadas en un segmento $0\le x\le L$ (lo que se suele llamar un "pozo de potencial infinito"). Las eigenfunciones de energía (ondas estacionarias) son ondas sinusoidales que desaparecen en los límites: $$\psi_n = \sin {n\,\pi\,x \over L} \qquad (n = 1,2,\ldots)$$ (no están normalizados, pero no tiene importancia para mis propósitos actuales). Los valores propios de energía correspondientes son $$E_n = {n^2 h^2 \over 8\,m\,L^2}.\tag1$$ A continuación se presenta una breve derivación, que puede omitirse sin ningún perjuicio.
$\psi_n$ tiene una longitud de onda $2L/n$ , entonces el impulso $$p = {h \over \lambda} = {n\,h \over 2\,L}.$$ Entonces la energía (sólo cinética) es $$E_n = {p^2 \over 2\,m} = {n^2 h^2 \over 8\,m\,L^2}.$$
Supongamos que sus partículas son sin interacción fermiones de espín 1/2. Entonces, la expresión anterior para la función propia de energía debe complementarse especificando el estado de espín. Entonces es preferible la notación ket de Dirac: $$\ket{n\up} \quad \hbox{or} \quad \ket{n\dn}$$ ambos pertenecientes a $E_n$ valor propio.
Si tu sistema está formado por sólo dos partículas, un conjunto de kets base se obtendría tomando productos tensoriales, que en la notación de Dirac se escriben simplemente poniendo dos kets uno detrás de otro. Por ejemplo $$\ket{m\up} \ket{n\up} \quad \ket{m\up} \ket{n\dn} \quad \ket{m\dn} \ket{n\up} \quad \ket{m\dn} \ket{n\dn}$$ para todos los enteros positivos $m$ , $n$ . Se puede utilizar una taquigrafía: $$\ket{m\up\,;\,n\up} \ \ket{m\up\,;\,n\dn} \ \ket{m\dn\,;\,n\up} \ \ket{m\dn\,;\,n\dn} \tag2$$ donde las etiquetas que preceden a ";" se refieren a la primera partícula, las que siguen a la segunda.
Pero los estados en (2) son erróneos para partículas fermiónicas idénticas, ya que no son antisimétricos. Los correctos son $$\eqalign{ &\ket{m\up\,;\,n\up} - \ket{n\up\,;\,m\up} \qquad \ket{m\up\,;\,n\dn} - \ket{n\dn\,;\,m\up} \cr &\ket{m\dn\,;\,n\up} - \ket{n\up\,;\,m\dn} \qquad \ket{m\dn\,;\,n\dn} - \ket{n\dn\,;\,m\dn} \cr}$$ (una vez más, estoy descuidando la normalización).
Sin embargo, hay que tener en cuenta que si $m=n$ La primera y la cuarta expresión son idénticas a cero, mientras que la segunda y la tercera son iguales, aparte del signo, por lo que representan el mismo estado. Esta es la forma matemática que asume PEP en QM: para $m=n$ sólo existe un estado para dos partículas, para $m\ne n$ hay cuatro.
Para más partículas se procedería de forma análoga, con una complicación algo mayor.
Calculemos la presión
En primer lugar, permítanme señalar que no sólo los fermiones ejercen una presión cuando están confinados en un volumen finito. Los bosones también lo hacen. La presión de la radiación es un ejemplo, y los fotones son bosones. Así que calculemos la presión ejercida por un gas de bosones que no interactúan en $0\,$ K, cuando todas las partículas se encuentran en el estado básico (esto no está prohibido para los bosones).
Si tenemos $N$ partículas, la energía global viene dada por (1) tomada para $n=1$ y multiplicado por $N$ ; $$E = {N h^2 \over 8\,m\,L^2}.$$ Como estamos en una dimensión, hablaremos de fuerza, no de presión. Es más fácil de calcular por $$F = -\PD EL = {N h^2 \over 4\,m\,L^3}.\tag3$$
Para aquellos que encuentren demasiado abstracta la derivación anterior, añadiré una semiclásica. En nuestra caja tenemos partículas libres que rebotan de un lado a otro de las fronteras. Su momento es $p=h/(2L)$ . Una partícula golpea un límite (por ejemplo, el izquierdo) una vez en un tiempo $${2L \over v} = {2mL \over p} = {4 m L^2 \over h}$$ y cada vez que intercambia con la frontera un momento $2p$ . Entonces el momento intercambiado por unidad de tiempo, es decir, la fuerza, es $$f = 2p\, {h \over 4 m L^2} = {h^2 \over 4 m L^3}.$$ Esto es válido para una partícula. Sólo queda multiplicar por $N$ para obtener (3).
Ahora para los fermiones
¿Cuál es la diferencia? Simplemente que incluso en $0\,$ K un gas fermiónico no tiene todas las partículas en estado básico. Hemos visto por qué está prohibido por la antisimetría. Así que tenemos la tarea de arreglar un ket antisimétrico para $N$ partículas, lo que parece prohibitivo. En realidad no lo es tanto, pero seguiremos un camino indirecto, en principio uno aproximado pero absolutamente adecuado a nuestros propósitos.
Para cada $n$ hay dos estados permitidos, spin up y spin down. En ya vimos que para $m=n=1$ y dos partículas sólo un estado es posible, mientras que para tres no es posible ninguno. Si aceptamos los valores 1 y 2 para $m$ , $n$ podemos acomodar hasta cuatro partículas $$\ket{1\up;1\dn;2\up;2\dn}$$ (para ser antisimétrico). Así, vemos que para $N$ partículas todos los estados de 1 a $N/2$ estarán ocupadas, cada una por dos partículas con espines opuestos.
Y ahora somos capaces de calcular la energía: $$E = 2\,\sum_{n=1}^{N/2} E_n = 2\,\sum_{n=1}^{N/2} {n^2 h^2 \over 8\,m\,L^2} = {h^2 \over 4\,m\,L^2} \sum_{n=1}^{N/2} n^2$$
(la suma debe multiplicarse por 2 ya que para cada $n$ hay dos estados de espín). Si $N$ es grande podemos aproximar la suma a ${1 \over 24}\,N^3$ y obtener $$E = {N^3 h^2 \over 96\,m\,L^2}.$$ Como antes $$F = -\PD EL = {N^3 h^2 \over 48\,m\,L^3}.\tag4$$
Puedes ver la diferencia entre (3) y (4). Mientras que para los bosones la fuerza es $\propto N$ para los fermiones es $\propto N^3$ entonces mucho más grande si $N$ es grande. En realidad es extremadamente grande para una enana blanca: intente estimar cuánto es $N$ (número de electrones) para una estrella que tenga el tamaño del Sol del Sol.
Para estar seguros debemos razonar sobre la presión, no sobre la fuerza. Este requiere dejar nuestro ingenuo modelo 1D por uno más realista en 3D. Me me contentaré con dar el resultado $$P = {(3\,\pi^2)}^{2/3} \left(\!{\hbar^2 \over m}\!\right)\,{N \over V}^{\!5/3}.$$
La diferencia más importante está en la dependencia de $N$ : $N^{5/3}$ en lugar de $N^3$ . No puedo explicar su origen (tiene que ver con la diferente contabilidad en 1D y en 3D para los estados de una partícula hasta $N/2$ ). Sólo diré que incluso con el menor exponente resultante presión es suficiente para contrarrestar la gravedad para enanas de masa cercana a la del del Sol y de un tamaño aproximado al de la Tierra.
Un comentario final
Debe quedar claro que ninguna fuerza misteriosa puede explicar nuestra resultados. Nótese que la energía total de $N$ partículas depende de una potencia de $N$ y sería difícil explicar que con alguna interacción entre partículas. En cambio, todo depende de cuáles y cuántos estados independientes se permiten cuando se trata de partículas idénticas. De manera diferente manera para los bosones contra los fermiones y ambos diferentes de la que se utilizaría para las partículas clásicas.
Como le gustaba decir a Feynman, así son las cosas.
transfiere suficiente energía en el sistema del centro de masa para empezar a crear otras partículas elementales. El proceso se describe con precisión mediante 
