Algoritmos para sistemas diofantinos

Question

En primer lugar, sé que no existe un algoritmo general para determinar si existe una solución a una ecuación diofantina general, y mucho menos a un sistema.

Sin embargo, me pregunto si existe un algoritmo para resolver un sistema diofantino de ecuaciones lineales y cuadráticas. De hecho, tengo un sistema que es "escaso" en cierto sentido (las ecuaciones lineales son todas la suma de tres variables igual a un número, y todas el mismo número, y las cuadráticas no son mucho peor).

Si es así, ¿se puede extender al caso de un número contable de variables?

Answer 1

No. Dado cualquier conjunto de ecuaciones diofánticas $f_1(z_1, \ldots, z_n) = \ldots = f_m(z_1, \ldots, z_n)=0$ podemos reescribir en términos de ecuaciones lineales y cuadráticas. Crear una nueva variable $w_{k_1 \cdots k_n}$ para cada monomio $z_1^{k_1} \cdots z_n^{k_n}$ que se produce en el $f$ o que divide cualquier monomio que aparece en el $f$ 's. Gire cada $f$ en una ecuación lineal: Por ejemplo, $x^3 y^2 + 7 x^2 y=5$ se convierte en $w_{32} + 7 w_{21} = 5$ . A continuación, crea ecuaciones cuadráticas $z_i w_{k_1 \cdots k_i \cdots k_n} = w_{k_1 \cdots (k_i +1) \cdots k_n}$ . Por ejemplo, $x w_{22} = w_{32}.$ Esto demuestra que la solvencia de las ecuaciones diofánticas es equivalente a la de las ecuaciones diofánticas de grado $\leq 2$ .

También mencionaré un caso muy concreto. La intersección de dos cuádricas en $\mathbb{P}^3$ es un género $1$ curva. Que yo sepa, no se conoce ningún algoritmo que compruebe la existencia de puntos racionales incluso en este caso. (Pero mis conocimientos no son muy amplios).