Condiciones de contorno adecuadas paradoja del campo magnético

Question

Considere una carga puntual $q$ situado en el origen, y un campo magnético uniforme, que cubre todo el espacio, apuntando en el $z$ dirección $\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{k}}$ . ¿Qué sucede cuando se apaga el campo magnético? ¿Hacia dónde irá la carga? Evidentemente, hay un campo magnético cambiante, y éste producirá a su vez un campo eléctrico, ejerciendo así una fuerza sobre $q$ . ¿Pero en qué dirección?

Este es un problema de libro de texto (Griffiths) y las soluciones dicen que no hay condiciones de contorno suficientes. Bien, pero ¿qué tipo de condiciones de contorno faltan?

Answer 1

Esto parece ser un problema no físico en el sentido de que si bien se puede plantear la hipótesis de un campo magnético uniforme en todas partes, no hay manera de que se pueda cambiar en todas partes de manera uniforme.

Sin embargo, en este caso no creo que ese sea el problema. La ley de Faraday es que $$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t},$$ por lo que conocer la tasa de cambio del campo magnético (como vector) sólo te da el rizo del campo eléctrico. Para obtener la fuerza de Lorentz es necesario conocer el propio campo eléctrico y éste sólo puede calcularse a partir del rizo del campo con condiciones de contorno adicionales, por ejemplo el valor del campo E en una posición determinada o algunos otros argumentos de simetría. Sin esto, podrías añadir cualquier campo E estacionario y sin rizo a tu solución y podría ser consistente con el campo magnético cambiante.