El enunciado de Spivak para la integración por partes (en el contexto de Riemann ) es válida cuando $fg’$ y $gf’$ individualmente, son integrables de Riemann, y basta con que $f’$ y $g'$ sea Riemann integrable cuando $f$ y $g$ son continuos.
El "contraejemplo" del artículo enlazado es relevante para las integrales impropias.
En el ejemplo, $f(x) = x^2 \sin(x^{-4})$ y $g(x) = x^2 \cos(x^{-4})$ en $[0,1]$ con $f(0), g(0) := 0$ y
$$\sin(1)\cos(1) = \int_0^1 (fg’ + gf’) \neq \int_0^1fg’ + \int_0^1 g f’,$$
ya que las integrales del lado derecho no existen como integrales de Riemann (ni como integrales finitas de Lebesgue).
El teorema de Rudin es correcto en el sentido de que $f', \, g' \in \mathcal{R}([a,b])$ requiere $f'$ y $g'$ para ser acotado. Este no es el caso del contraejemplo.
Para más detalles, tenga en cuenta que $f$ y $g$ son diferenciables con $f'(0) = g'(0) = 0.$
En $(0,1]$ que tenemos,
$$f'(x) = 2x \sin(x^{-4}) - 4 x^{-3}\cos(x^{-4}), \\ g'(x) = 2x \cos(x^{-4}) + 4 x^{-3}\sin(x^{-4}),\\ f(x)g(x) = \frac{1}{2}x^4 \sin(2 x^{-4}), \\ (fg)'(x) = 2x^2 \sin(2x^{-4}) - 4 x^{-1}\cos(2x^{-4}) $$
Observe que $f(x)g'(x) = 2x^3\sin(x^{-4})\cos(x^{-4})- 4x^{-1} \sin^2(x^{-4})$ donde el segundo término no tiene una integral impropia convergente sobre $[0,1]$ .
