Dejemos que $e(-)$ denotan la característica ordinaria de Euler y $\chi_c(-)$ la versión compacta soportada.
Las variedades complejas admiten estratificaciones de Whitney. En particular, cada estrato cerrado en tal estratificación es un repliegue de deformación fuerte de una vecindad tubular. Se deduce (Mayer-Vietoris) que si $Y\subseteq X$ es un estrato cerrado, entonces $e(X) = e(Y) + e(X-Y)$ .
Añadido más tarde : Permítanme intentar dilucidar un poco más la afirmación anterior. Por intuición, permítanme hacer una observación informal: una de las razones por las que las estratificaciones de Whitney son tan agradables es que si uno piensa en los estratos como espacios pegados (o tal vez "vinculados" es una palabra más adecuada), entonces en una estratificación de Whitney el pegado se produce utilizando haces de fibras localmente triviales.
Volvamos a la afirmación anterior. Dejemos que $T$ sea la vecindad tubular de $Y$ . Se trata de un haz de fibras sobre $Y$ con fibra homeomórfica al cono de mapeo $cone(L)$ de un espacio compacto $L$ (el enlace). Eliminación de $Y$ de esta vecindad equivale a eliminar el vértice de $cone(L)$ (la "sección cero"). Así que uno se reduce a mostrar que la característica de Euler de $L$ es $0$ . Ahora la estratificación de Whitney de $X$ se obtiene una estratificación de Whitney de $L$ por variedades orientadas de dimensión impar (real). Por inducción se ve que tal espacio debe tener característica de Euler nula (creo que esto es originalmente una observación de Sullivan; la intuición es la misma: en cada paso de su estratificación está adjuntando un espacio compacto con las propiedades anteriores a una variedad orientada de dimensión impar usando mapas localmente triviales cuya fibra satisface las mismas propiedades).
Ahora bien, si $X = \bigsqcup_i X_i$ es una estratificación de Whitney con cada $X_i$ suave, entonces por la dualidad de Poincare, $e(X_i) = \chi_c(X_i)$ para cada $i$ . Sea $Y$ sea un estrato de dimensión mínima. Así que $Y$ está cerrado. Por inducción en el número de estratos podemos suponer $e(X-Y) = \chi_c(X-Y)$ . Ahora utiliza la observación del párrafo anterior y ya está.
Añadido aún más tarde: Puede que me esté extralimitando un poco (así que señale si tiene un contraejemplo), pero creo que la siguiente versión mejorada es cierta. Sea $f\colon X\to Y$ sea un morfismo entre variedades complejas. Sea $K_0(X)$ y $K_0(Y)$ denotan los grupos de Grothendieck de las categorías derivadas acotadas de las láminas algebraicamente construibles sobre $X$ y $Y$ . Entonces tenemos dos mapas $[f_*], [f_!]\colon K_0(X) \to K_0(Y)$ . Quiero decir que $[f_*] = [f_!]$ . Creo que tengo un esbozo de una prueba de esto usando la resolución de singularidades (aunque tal vez usando una variante del método de estratificación aquí podría hacerlo también). En cualquier caso, es un tema de reflexión.
