Identidades de Green para el bilaplaciano

Question

Derivar las identidades de Green en forma local e integral para el bilaplaciano. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Notación:

• $\Delta$ - Operador laplaciano,
• $\mbox{div}$ es una divergencia (de un vector),
• $\nabla$ es un gradiente, $\vartheta$ es una unidad (hacia fuera) vector normal definido positivo fuera de la región $D$ ,
• $\partial D$ es un boudary de $D$ .

Dejemos que $u$ y $v$ sean funciones escalares. Utilizamos las identidades de Green para el laplaciano ( lien ). Denotemos $\Delta u = U$ y $\Delta v=V$ . Desde $\Delta^2$ es un operador (formal) autoadjunto (debe verificarse) tenemos que $L=L^*$ así $$uLv-vL^*u=uLv-vLu=u \Delta^2 v - v \Delta^2 u= u \Delta V - v \Delta U=$$ $$=\underbrace{(u \Delta V - V \Delta u)}_{{\tiny{\mbox{Green's identity for } \Delta}}} + \underbrace{(U \Delta v - v \Delta U)}_{{\tiny{\mbox{Green's identity for } \Delta}}}+V\Delta u-U\Delta v=$$ $$=\mbox{div} (u \nabla V - V \nabla u)+\mbox{div} (U \nabla v - v \nabla U)+V\Delta u-U\Delta v$$ Desde $\mbox{div}$ es un operador lineal, $\mbox{div}{(\phi F)}= \nabla(\phi) \cdot F +\phi\mbox{div}(F)$ , donde $\phi$ una función de valor escalar y $F$ es un campo vectorial y $\Delta f= \nabla \cdot \nabla f$ obtenemos $$\mbox{div} (u \nabla V) - \mbox{div} (V \nabla u)+\mbox{div} (U \nabla v) - \mbox{div}(v \nabla U)+V\Delta u-U\Delta v= $$ $$=\mbox{div} (u \nabla V)- \mbox{div}(v \nabla U)-\nabla V \cdot \nabla u - V\mbox{div}(\nabla u) + \nabla U \cdot \nabla v + U\mbox{div}(\nabla v)+V\Delta u-U\Delta v=$$ $$\mbox{div} (u \nabla V)- \mbox{div}(v \nabla U)-\nabla V \cdot \nabla u - V\nabla \cdot(\nabla u) + \nabla U \cdot \nabla v + U\nabla \cdot(\nabla v)+V\Delta u-U\Delta v =$$ $$\mbox{div} (u \nabla V)- \mbox{div}(v \nabla U)-\nabla V \cdot \nabla u - V\Delta u + \nabla U \cdot \nabla v + U \Delta v+V\Delta u-U\Delta v =$$ $$\mbox{div} (u \nabla V)- \mbox{div}(v \nabla U)-\nabla V \cdot \nabla u + \nabla U \cdot \nabla v =$$ $$\mbox{div} (u \nabla V)-\nabla u \cdot \nabla V- \mbox{div}(U \nabla v) + \nabla U \cdot \nabla v =$$ $$=\left[\mbox{div}(u \nabla V)-\nabla u\cdot \nabla V\right] -\left[\mbox{div}(v \nabla U)-\nabla v\cdot \nabla U\right]= $$ $$=\mbox{div}\left[u\nabla(\Delta v)-v\nabla(\Delta^2 u) \right]+\left[\nabla v \cdot \nabla(\Delta^2 u)- \nabla u \cdot \nabla(\Delta^2 v)\right]$$ Reescribiendo el 2º paréntesis obtenemos $$\nabla v \cdot \nabla(\Delta^2 u)=\mbox{div}\left[(\nabla v)(\Delta U)\right]-(\Delta v)(\Delta u)$$ $$\nabla u \cdot \nabla(\Delta^2 v)=\mbox{div}\left[(\nabla u)(\Delta v)\right]-(\Delta u)(\Delta v)$$ Por lo tanto, $$u \Delta^2 v - v \Delta^2 u=\mbox{div}\left[u\nabla(\Delta^2 v)- v\nabla(\Delta^2 u)+\nabla v(\Delta u)- \nabla u(\Delta v)\right]=\mbox{div}\vec{Q}$$ Finalmente, al integrarlo sobre el volumen $D$ y aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradsky obtenemos $$\int_D \left(u \Delta^2 v - v \Delta^2 u\right) dx=\int_D \mbox{div}\vec{Q}dx=\int_{\partial D}\vartheta\cdot \vec{Q}dS= $$ $$=\int_{\partial D}\left(u \frac{\partial (\Delta v)}{\partial \vartheta}-v\frac{\partial (\Delta u)}{\partial \vartheta}+\Delta u \frac{\partial v}{\partial \vartheta}-\Delta v \frac{\partial u}{\partial \vartheta} \right)dS.$$