¿Existe una propiedad similar a $ x^2 = (x-1)(x+1)+1$ para $ x^3$ ?

Question

Estoy buscando una forma de descomponer $x^3$ de manera similar.

Answer 1

Como otros han señalado: $$x^3 = (x-1)(x^2+x+1)+1$$ Dices que quieres tres factores. Puedes hacerlo pero debes utilizar números complejos no reales. Puedes escribir $$x^n = (x -\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n) + 1$$ donde el $\alpha_i$ son los $n^\mathrm{th}$ raíces de la unidad.

Answer 2

Creo que sí: $x^3 = (x-1)(x^2+x+1) + 1$

Answer 3

Podemos escribir $$x^3= (x-1)(x^2+x+1)+1$$ Además, otra representación puede ser $$x^3 = (x+1)(x^2-x+1)-1$$

Answer 4

$$\small \begin{vmatrix} x+n & 1 & 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ -n & x+n-2 & 2 & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -n+1 & x+n-4 & 3 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -n+2 & x+n-6 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & x-n+6 & n-2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & -3 & x-n+4 & n-1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & -2 & x-n+2 & n\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 & -1 & x-n \end{vmatrix} = x^{n+1}$$

No hace falta decir que $n$ es obviamente un número entero, ya que el determinante es siempre polinómico en $x$ . Al establecer $n=1$ , su descomposición puede ser recuperada.