Demostrar que $f\notin C^1(\Bbb R)$ sabiendo que $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2i\pi tx}}{1+x^2}\ dx$

Question

El objetivo es demostrar que $f\notin C^1(\Bbb R)$ sabiendo que $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{2i\pi tx}}{1+x^2}\ dx$ . Estoy realmente confundido con este ya que más adelante demuestro usando el teorema de los residuos (que me dicen que puedo usar) que, si $g(x) = \frac{e^{2i\pi tx}}{1+x^2}$ :

$$f(t) = \sum_{k=1}^{n}2i\pi \ res(h,z_k)$$ para los residuos cuyos polos asociados tienen una parte imaginaria $>0$ . Como $i$ es el único polo de este tipo que obtenemos : $$f(t) = 2i\pi \ res(h,z_k)$$ con $$res(h,z_k)=\frac{1}{2i}e^{-2\pi t}$$ y así $$f(t) = \pi e^{-2\pi t}$$ que en realidad es $C^1(\Bbb R)$ . ¿Es mi uso del teorema de los residuos incorrecto, o hay un error en la pregunta (es decir $\notin$ en lugar de $\in$ )? Se agradece cualquier consejo.

Answer 1

Debe ser $\pi\exp(-2\pi|t|)$ ya que el signo de $t$ afecta a qué contorno semicircular debe encerrar un poste.

Answer 2

Hemos visto que se puede calcular $f(t)$ explícitamente, y resulta que $f$ no es diferenciable en el origen. También se puede demostrar esto sin calculando realmente $f(t)$ . ¿Por qué podríamos querer hacer esto? (i) el argumento de abajo es más divertido (ii) creo que si incluyes todos los detalles es más sencillo (iii) lo más importante es que lo de abajo es el tipo de cosa que uno puede imaginar aplicando en algún otro contexto, donde uno no puede evaluar la integral explícitamente.

Está claro que $f$ es par, por lo que si $f$ es diferenciable en el origen debemos tener $f'(0)=0$ . Así que es suficiente para demostrar que $$\lim_{t\to0^+}\frac{f(t)-f(0)}t\ne0.$$

Si $t>0$ un cambio de variables $x'=tx$ (más el hecho de que la integral de una función sobre la recta es la integral de su parte par) muestra que $$\frac{f(t)-f(0)}t=\int\frac{\cos(2\pi x)-1}{x^2+t^2}\,dx.$$

El integrando está acotado por $c$ para $|x|\le1$ y por $2/x^2$ para $|x|>1$ por lo que el DCT muestra que $$\lim_{t\to0^+}\frac{f(t)-f(0)}t=\int\frac{\cos(2\pi x)-1}{x^2}\,dx<0$$ (porque $\cos(2\pi x)-1<0$ casi en todas partes).

( ???: Dijimos que íbamos a demostrar que $f$ no es diferenciable en el origen, pero arriba parece que hemos demostrado que $f'(0)$ es igual a esa integral (finita). ¿Eh? No, en realidad todo lo que hemos demostrado es que la mano derecha derivado de $f$ en el origen viene dada por esa integral. Ejercicio: Demuestre que la derivada de la izquierda en el origen es una integral ligeramente diferente).