Encontrar los valores de alguna prueba y la potencia para una distribución uniforme

Question

Tengo la muestra aleatoria $X_1, X_2, \dots, X_n$ extraído de la distribución uniforme en $[\varphi, \varphi + 1]$ . Para comprobar la hipótesis nula $H_0 : \varphi = 0$ contra la hipótesis alternativa $H_1 : \varphi > 0$ tenemos la prueba

$$\text{Reject} \ H_0 \ \ \ \text{if} \ \ \ X_{(n)} \ge 1 \ \text{or} \ X_{(1)} \ge g,$$

donde $g$ es una constante, $X_{(1)} = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}, X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$ .

¿Cómo puedo encontrar $n$ y $g$ para que el $0.05$ nivel tendrá poder al menos $0.8$ si $\varphi > 0.1$ ?

Creo que tenemos que empezar por encontrar la FCD de $X_{(1)}$ y $X_{(n)}$ pero acabo de empezar a aprender estas cosas, así que realmente no sé lo que debo hacer. Agradecería que cualquier respuesta explicara el razonamiento de los pasos, para que pueda entender mejor.

Answer 1

En primer lugar, encontrar la distribución de $X_{(n)}$ :

$$ P(X_{(n)}\leq x) =P(X_{1}\leq x,\ldots,X_n\leq x)= \prod_{i=1}^n P(X_{i}\leq x)= (P(X_{1}\leq x))^n . $$ Ahora vamos a calcular la probabilidad conjunta de que $$ P( X_{(n)} \ge a \ \text{or} \ X_{(1)} \ge b) = P(\ X_{(n)} \ge a)+P(\ X_{(n)} < a,\ X_{(1)} \ge b ) $$ Ahora $$ P(\ X_{(n)} < a,\ X_{(1)} \ge b ) = P(X_1,\ldots,X_n \in (b,a]) = \left(P(X_1 \in (b,a])\right)^n $$ Ahora la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando el parámetro verdadero es $\varphi$ es $$ P(\ X_{(n)} \geq 1 \ \text{or}\ X_{(1)} \ge g) =1-(P(X_{1}\leq 1))^n + \left(P(X_1 \in (g,1])\right)^n. $$ Por lo tanto, bajo $H_0$ esta probabilidad es igual a (la siguiente ecuación da el nivel) $$ P(\ X_{(n)} \geq 1 \ \text{or}\ X_{(1)} \ge g) =1-1 + \left(P(X_1 \in (g,1])\right)^n \\ =(1-g)^n. $$ Ahora la potencia mínima de esta prueba cuando $\varphi>0.1$ es $$ \inf_{\phi>0.1}P(\ X_{(n)} \geq 1 \ \text{or}\ X_{(1)} \ge g) $$

• Caso I: si $\varphi\geq 1$ entonces claramente $$ P(\ X_{(n)} \geq 1 \ \text{or}\ X_{(1)} \ge g) =1-(P(X_{1}\leq 1))^n + \left(P(X_1 \in (g,1])\right)^n =1. $$
• Caso II: si $0.1\leq \varphi\leq 1$ entonces (la siguiente ecuación da la potencia) $$ P(\ X_{(n)} \geq 1 \ \text{or}\ X_{(1)} \ge g) =1-(P(X_{1}\leq 1))^n + \left(P(X_1 \in (g,1])\right)^n \\ = 1-(1-\varphi)^n+(1-\max(g,\varphi))^n $$

Ahora, pasando a su pregunta que quiere $$ (1-g)^n \leq 0.05 \ \text{and}\ 1-(1-\varphi)^n+(1-\max(g,\varphi))^n \geq 0.8, $$ Hay múltiples formas de elegir $g$ y $n$ ahora. Por ejemplo, puede elegir $g=0.01$ y $n$ tal que $$ 0.99^{n} \leq 0.05, $$
En este caso, tendrá poder $1$ pero el tamaño de la muestra podría ser mayor.