Postulado paralelo del axioma de Playfair

Question

Postulado paralelo: Si un segmento de recta corta a dos rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

El axioma de Playfair: Dada una recta y un punto que no está en ella, se puede trazar a lo sumo una paralela a la recta dada que pase por el punto.

Demuestra el postulado del Paralelo a partir del axioma de Playfair.

Answer 1

Demostrar que Playfair implica Paralelo es lo mismo que demostrar que (no Paralelo) implica (no Playfair). Así que supongamos que (no Paralelo), es decir, que hay una línea $t$ (extensión del segmento al que se refiere) líneas de intersección $l,l'$ y tal que la suma de los ángulos interiores de uno de los lados de $t$ es menor que $180^{\circ}$ (dos ángulos rectos), pero $l,l'$ no se encuentran en ese lado de $t$ . Tampoco pueden encontrarse en el otro lado, ya que en ese otro lado la suma de los ángulos interiores supera $180^{\circ}$ e incluso en la geometría neutra (es decir, sin el postulado de las paralelas) la suma de dos ángulos en un triángulo no puede superar $180^{\circ}$ . Por lo tanto, $l,l'$ son paralelas. También podemos construir otra línea $l''$ a través del punto $P$ en $l'$ donde la transversal $t$ se encuentra con ella, tal que para esta línea la suma de sus ángulos internos en el mismo lado de $t$ es igual a $180^{\circ}$ y esta línea $l''$ es paralelo a $l$ sólo por la geometría neutra. Así que ahora tenemos dos paralelos distintos para $l$ a través de $P$ y han llegado a la negación del axioma de Playfair.

Answer 2

La historia es rica en pruebas incorrectas sobre el postulado del paralelo. Hemos desarrollado pruebas muy rigurosas comprobadas con el asistente de pruebas Coq.

Puede encontrar una prueba comprobada por ordenador aquí: http://geocoq.github.io/GeoCoq/ y la versión en inglés de las pruebas en el siguiente documento: https://hal.inria.fr/hal-01178236

También puedes encontrar la prueba en el libro de Greenberg "Euclidean and non-euclidean geometries".

Answer 3

Creo que la demostración se puede dar directamente, lo que le da más claridad, utilizando las proposiciones I.13, I.17, I.28 y I.31 (que no dependen del quinto postulado), siguiendo la demostración del libro Introducción a la geometría no euclidiana de Harold E. Wolfe (capítulo 2).

En primer lugar, hay que notar que la recta paralela a una recta dada por un punto que no está en la recta construida en la Proposición I.31 ("Trazar una recta por un punto dado paralelo a una recta dada") produce ángulos internos del mismo lado cuya suma es igual a dos ángulos rectos, esto se deduce en virtud de la Proposición I.13 ("Si una recta está sobre una recta, entonces hace o bien dos ángulos rectos o bien ángulos cuya suma es igual a dos ángulos rectos").

Ahora, para demostrar que el axioma de Playfair implica el quinto postulado es como sigue:

Líneas dadas $AB$ y $CD$ cortada por la transversal $ST$ de tal manera que la suma de los ángulos $BST$ y $DTS$ es menor que dos ángulos rectos. Construir a través de $S$ la línea $QSR$ , haciendo que la suma de los ángulos $RST$ y $DTS$ igual a dos ángulos rectos. Esta línea es paralela a $CD$ por la Proposición I.28 ("Si una recta que cae sobre dos rectas hace que el ángulo exterior sea igual al ángulo interior y opuesto del mismo lado, o que la suma de los ángulos interiores del mismo lado sea igual a dos ángulos rectos, entonces las rectas son paralelas entre sí"). Como las rectas $QSR$ y $ASB$ son líneas diferentes y, por el axioma de Playfair, sólo se puede trazar una línea a través de $S$ en paralelo a $CD$ concluimos que $AB$ se encuentra con $CD$ . Estas líneas se encuentran en la dirección de $B$ y $D$ pues, si se encontraran en sentido contrario, se formaría un triángulo con la suma de dos ángulos mayores que dos ángulos rectos, en contra de la Proposición I.17 ("En cualquier triángulo la suma de dos ángulos cualesquiera es menor que dos ángulos rectos").