Resolver $\int_0^1 \frac{e^{-t} }{1+t} dt\,$ utilizando la integral exponencial

Question

Me cuesta mucho saber cómo resolver las siguientes integrales: $$ \int_0^1 \frac{e^{-t} }{1+t} dt\, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_0^1 \frac{e^{-t} }{(1+t)^2} dt\, $$ Según mi profesor, se supone que hay que utilizar la Integral Exponencial m-ésima. No estoy muy familiarizado con la Integral Exponencial y no estoy seguro de cómo obtener las integrales anteriores en el formato correcto, en particular para los límites (¿hay que hacer una transformación?), o resolverla. La ecuación que nos dieron para la Integral Exponencial es $E_m(x)=\int_1^\infty \frac{e^{-xt} }{t^m} dt\,$ . Cualquier idea sería increíblemente útil (¡especialmente los pasos!). ¡Gracias!

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{e^{-t}}{t+1}\,dt&=e\int_1^2 \frac{e^{-t}}{t}\,dt\\\\ &=e\left(\int_1^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt-\int_2^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt\right)\\\\ &=e\left(\int_1^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt-\int_1^\infty \frac{e^{-2t}}{t}\,dt\right)\\\\ &=e\left(E_1(1)-E_1(2)\right) \end{align}$$

Por lo tanto, podemos escribir

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^1 \frac{e^{-t}}{t+1}\,dt=e\left(E_1(1)-E_1(2)\right)}$$

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Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{e^{-t}}{(t+1)^2}\,dt&=e\int_1^2 \frac{e^{-t}}{t^2}\,dt\\\\ &=e\left(\int_1^\infty \frac{e^{-t}}{t^2}\,dt-\int_2^\infty \frac{e^{-t}}{t^2}\,dt\right)\\\\ &=e\left(\int_1^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt-\frac12 \int_1^\infty \frac{e^{-2t}}{t}\,dt\right)\\\\ &=e\left(E_2(1)-\frac12 E_2(2)\right) \end{align}$$

Por lo tanto, podemos escribir

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^1 \frac{e^{-t}}{(t+1)^2}\,dt=e\left(E_1(1)-E_1(2)\right)}$$

Answer 2

¿Qué tal si utilizamos la serie geométrica? Es decir

$$\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^\infty (-t)^n$$

Entonces tenemos

$$ \int^1_0\frac{e^{-t}}{1+t}\,dt = \sum_{n=0}^\infty \int^1_0 e^{-t}(-t)^n\,dt. $$

Esto no es exactamente la integral exponencial, ya que la potencia de $t$ está en el numerador en lugar del denominador, y los límites son $0\leq t\leq1$ en lugar de $1\leq t\leq\infty$ . Así que invirtamos $t$ para transformar eso. Deja que $u=\frac{1}{t}$ y nosotros sí:

$$ \int^1_0e^{-t}t^n\,dt = -\int^1_\infty \frac{e^{-1/u}}{u^n}\frac{1}{u^2}\,du = \int^\infty_1 \frac{e^{-1/u}}{u^{n+2}}\,du $$