Cómo demostrar que el teorema del intervalo anidado no se cumple en $\mathbb Q$ ?

Question

Afirmación: El teorema del intervalo anidado no se cumple en $\mathbb Q$ .

Puedo demostrarlo utilizando secuencias $a_n$ y $b_n$ donde $a_n < b_n$ y ambos convergen para un $x$ que es cualquier número irracional. En ese caso, la intersección de dichos intervalos estaría vacía. Sin embargo, eso no me parece suficiente.

He pensado en seguir pero de alguna manera tampoco me parece bien.

Supongamos que el teorema se cumple en $\mathbb Q$ . Sea $F_n=[a_n,b_n] \subset\mathbb{Q}$ donde $a_n < b_n$ . Porque todo conjunto cerrado que es un subconjunto de $\mathbb{Q}$ tiene el máximo y el mínimo, también tienen el mínimo y el sumo. Por lo tanto, dejemos que $M=sup\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ y $m=inf\{q_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ . Ahora $[M,m] \subset\ F_n$ , $M<m$ y $M,m \in\mathbb{Q}$ . Porque $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ Hay un $s\in\mathbb{Q}$ para que $M<s<m$ . (Se supone que se sabe que hay un número racional entre cada número real). Ahora tenemos un intervalo $[M,s] \subset\ [M,m]$ que entra en conflicto con $m$ siendo el ínfimo de los límites superiores (porque $s<m$ y $s\in\{b_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ . Por lo tanto, el teorema no puede ser válido en $\mathbb{Q}$ .

Espero comentarios sobre si esta prueba es firme y si no es así, cómo debería hacerlo.

Answer 1

Aquí hay una prueba que no hace ninguna referencia a $\mathbb R$ y, por tanto, puede ser "filosóficamente" más satisfactorio.

Para llegar a una contradicción, supongamos que el teorema del intervalo anidado se cumple en $\mathbb Q$ .

Desde $\mathbb Q$ es contablemente infinito, se puede enumerar como una secuencia $\{ r_n;\; n\in\mathbb N\}$ , donde el $r_n$ son distintos por parejas. Elija cualquier intervalo racional cerrado $I_1$ con una longitud $1$ y tal que $r_1\not\in I_1$ . Dividir $I_1$ en 3 intervalos (racionales) de la misma longitud. Uno de estos intervalos no contiene $r_2$ ; llámalo $I_2$ . Entonces $I_2$ tiene una longitud $3^{-1}$ . Aplique el mismo razonamiento a $I_2$ y así sucesivamente. Esto produce una secuencia decreciente de intervalos cerrados $(I_n)$ tal que $I_n$ tiene una longitud $3^{-n+1}$ para todos $n$ y $r_n\not\in I_n$ . Como se supone que el Teorema del intervalo anidado se cumple en $\mathbb Q$ hay un número racional $r$ en la intersección de los intervalos $I_n$ . Pero por la propia definición del $I_n$ este número $r$ no puede ser igual a ningún $r_n$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

¿Por qué está insatisfecho con su primer argumento? Hace el trabajo muy bien. Tu segundo argumento es erróneo: el conjunto $\{q\in\Bbb Q:\sqrt2<q<\sqrt3\}$ es un intervalo cerrado y acotado en $\Bbb Q$ sin un máximo ni un mínimo.