Tengo una o dos preguntas sobre el siguiente ejercicio:
Dejemos que $\alpha$ sea el endomorfismo de $\Bbb{Q}^4$ definido por: $$\alpha : \left[\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}\right] \mapsto \left[\begin{matrix}2a-2b-2c-2d \\ 5b-c-d \\ -b+5c-d \\ -b-c+5d \end{matrix}\right].$$ Encontrar subespacios propios no triviales de $\Bbb{Q}^4$ que son invariantes bajo $\alpha$ .
Sé lo que significa $\alpha$ -invariante, y sé lo que constituye subespacios triviales que son invariantes bajo esta transformación. También he leído discusiones sobre el uso de los vectores propios de la transformación lineal para determinar estos subespacios invariantes, y eso tenía sentido, más o menos. Pero este libro de texto en particular aborda los endomorfismos y los subespacios invariantes mucho antes que cualquier mención de los valores propios/vectores propios e incluso antes del álgebra matricial o de cualquier número de manipulaciones matriciales. ¿Cómo pretende el autor que encontremos subespacios invariantes por otros métodos además de los que se basan en las técnicas de los eigenspacios? El capítulo de este libro sólo proporciona un ejemplo concreto, y es para un escenario mucho más sencillo. Curiosamente, en la introducción del libro se afirma que el libro "no asume ningún conocimiento previo de álgebra lineal formal... y por tanto el volumen es autocontenido". Supuse que esto podría significar que el lector no necesita saber lo que es un eigenvector a estas alturas (sin embargo, estoy bastante familiarizado).
Además, aunque entiendo la definición básica de endomorfismo ¿cómo se puede determinar si una determinada transformación lineal es un endomorfismo en particular? ¿Tiene algo que ver con el hecho de que la suma y la multiplicación (dadas por la composición) se definen sobre endomorfismos de un espacio vectorial? A primera vista, algunos de estos endomorfismos parecen indistinguibles de otras transformaciones lineales.
Agradezco la aportación.
