¿Por qué ZFC no define un predicado de verdad por recursión?

Question

Pregunto por la respuesta dada por @aws en la página ¿Por qué los modelos de tamaño de clase escapan al teorema de exhaustividad? y si lo que dice aws es correcto y por qué. En la respuesta aws esboza una falsa "prueba" de que ZFC demuestra su propia consistencia, definiendo una función de clase $F$ que determina la verdad dada una cadena/número de modelo asociado a una fórmula de entrada. Dicen que esta prueba es errónea porque "Queremos $F(\forall x \phi(x))$ para ser uno si $F(\phi(a))=1$ por cada $a\in V$ y cero en caso contrario. Sin embargo, no podemos enunciar esto directamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos", y "como las fórmulas pueden tener parámetros de V, hay una clase propia de ellas, y en particular las cláusulas inductivas para cuantificadores serían las más problemáticas". Sin embargo, no veo por qué no está perfectamente bien definir $$F(\ulcorner\forall x \phi \urcorner,[a])= \begin{cases} 1 & \forall x (F(\ulcorner\phi \urcorner, [a^i_x])=1)\\ 0 & \textrm{else} \end{cases}$$ y luego usar la recursión para encontrar una función de clase/fórmula de verdad $F$ demostrando la consistencia de ZFC.

¿Estoy cometiendo un error? O estoy en lo cierto y el problema de esta construcción radica en otra parte (como quizás en el hecho de que la función de clase resultante $F$ tendrá parámetros libres).

Answer 1

Gracias a @NoahSchweber y @AndreasBlass por sus comentarios. Siguiendo el post de Andreas en mathoverflow, la verdad de $\forall x \phi(x)$ depende de $\phi(x)$ para valores de clase múltiple $x$ .

Supongamos que utilizamos la numeración de godel para indexar fórmulas por elementos de $\omega.$ Si intentáramos definir la función de clase dando la verdad $F$ recursivamente por la ecuación dada en mi pregunta, tendríamos que construir una relación $R$ en el plató $\omega\times V^{\omega}$ de pares fórmula-valorización tales que la evaluación de $F$ en un elemento de $\omega\times V^{\omega}$ sólo depende de $F$ en los valores anteriores bajo la relación $R,$ y tal que $R$ es de tipo conjunto, lo que significa que la colección de predecesores de cualquier elemento bajo $R$ forma un conjunto. Sin embargo, dado que la verdad de una fórmula con cuantificación no restringida depende de la verdad de las valoraciones de clase múltiple, dicha relación $R$ no puede ser similar a un conjunto.

No estoy de acuerdo con aws cuando dice "no podemos plantear esto directamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos", pero por lo demás creo que tienen razón.