Entonces, ¿qué ocurre en esta ecuación de cinemática angular?

Question

-La rueda de un coche tiene un radio de 20 cm. Inicialmente gira a 120 rpm. En el minuto siguiente hace 90 revoluciones. ¿Cuál es la aceleración angular?

Así que la respuesta se resuelve utilizando una de las ecuaciones cinemáticas angulares. Más concretamente la delta theta. El problema que me cuesta entender es la respuesta, que probablemente se deba a mis escasos fundamentos.

La respuesta es: (90x2pi) = 4pi(60) + 1/2 (alfa) (60)^2

Entonces, ¿de dónde viene 90x2pi?

Answer 1

Las ecuaciones que estás utilizando son ecuaciones para $\theta$ El ángulo por el que gira la rueda. En física, medimos los ángulos en radianes. Hay $2\pi$ radianes en un círculo, por lo que $90$ revoluciones es $90*2pi$ radianes.

Answer 2

Mezclar unidades es siempre una receta para los problemas.

Como sabes, la aceleración angular sigue leyes similares a las de la aceleración lineal. En concreto, el ángulo $\theta$ en el momento $t$ viene dada por

$$\theta(t) = \theta(0) + \omega(0) t + \frac12\alpha t^2\tag1$$

que es el análogo de

$$x(t) = x(0) + v_0 t + \frac12 a t^2$$

En su caso, la velocidad angular se expresa en rpm -revoluciones por minuto- y normalmente queremos convertirla a radianes por segundo. $2\pi$ radianes en una revolución, 60 segundos en un minuto. Así que

$$\begin{align}\theta(0) &= 0\\ \omega(0) &= 120 * 2 \pi / 60\\ &= 4\pi\\ \theta(t) &= 90\ rev\\ &= 90 * 2 \pi\\ &= 180\pi\\ t &= 60 s\end{align}$$

Resolver $(1)$ para $\alpha$ :

$$\begin{align} \alpha &= 2\frac{\theta(t) - \omega(0) t}{t^2}\\ &=2\frac{180\pi - 240\pi}{3600}\\ &=-\frac{\pi}{30} \frac{rad}{s^2}\end{align}$$

Usted podría mantener todo en revoluciones y minutos - entonces la ecuación (y los números) sería más simple:

$$\alpha = 2\frac{90-120}{1} = -60 \frac{rpm} {min^2}$$

pero ahora hay que hacerse a la idea de las unidades de $\frac{rpm}{min^2}$ . Una vez que lo haces, te das cuenta de que la velocidad de la rueda se ha reducido a la mitad: al final del minuto está girando a sólo 60 rpm (120 - 60 = 60). El hecho de que la rueda haya girado 90 revoluciones en ese minuto tiene ahora sentido: con la aceleración lineal, la velocidad media (90 rpm) es el punto medio entre las velocidades inicial (120 rpm) y final (60 rpm)...