Operador de Laplace para encontrar un haz de planos paralelos (superficies equipotenciales) a dos placas

Question

Sabemos que el potencial generado por una carga puntualmente $q$ es $V(r) = kq/r $ y las superficies equipotenciales (en 3D) son esferas centradas en la carga con $r\geq 0$ donde $r=d(O,P)$ es decir, la distancia entre el origen y un punto genérico $P$ .

De hecho, si estamos en el espacio, donde se ha fijado un sistema ortonormal de coordenadas cartesianas, $ r = r(x,y,z) = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$ indica el módulo del radio vector, es decir, es la distancia al origen.

Si el potencial viene dado por $V = C/r$ , donde $C$ es una constante. Las superficies equipotenciales son el lugar de los puntos del espacio a un potencial fijo, es decir todos los puntos $ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tal que $$V(x,y,z) = \dfrac{C}{r(x,y,z)} = \dfrac{C}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} = V_0$$ equivalentemente $$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \dfrac C{V_0} \iff x^2 + y^2 + z^2 = \left(\dfrac C {V_0} \right)^2. $$

Si tengo, en cambio en 3D (caso general y no particular) que es la situación más concreta, 2 planos $\pi$ y $\pi'$ paralelas (por ejemplo, las placas planas de un condensador plano) entre ellas a una distancia $\ell$ ¿es posible encontrar una relación matemática del potencial eléctrico $V=V(x,y,z)$ que me dan un paquete $\mathcal F$ de planos paralelos del tipo

$$\mathcal F:\quad V(x,y,z)=ax+by+cz+k=0,\quad k\in\mathbb{R},$$ ortogonal al campo eléctrico uniforme $\overline E=(E_x,E_y,E_z)$ ?

Si transformo este problema en una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), utilizando el operador de Laplace

$$\overline E = -\overline \nabla V \Longleftrightarrow E_x\mathbf{\hat x}+E_y\mathbf{\hat y}+E_z\mathbf{\hat z}=-\left(\dfrac{\partial V_x}{\partial x} \mathbf{\hat x}+\dfrac{\partial V_y}{\partial y} \mathbf{\hat y}+\dfrac{\partial V_z}{\partial z} \mathbf{\hat z}\right)$$

cómo puedo encontrar el paquete $\mathcal F:\, V(x,y,z)=ax+by+yz+k=0$ paralelo (superficie equipotencial) a las dos placas?

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta te interesa encontrar la superficie de potencial constante en el caso de infinitos planos con densidad de carga uniforme.

El potencial puede ser elegido para tomar la forma: $$V(x, y, z) = \left(V_{1}x, V_{2}y, V_{3}z \right),\quad \text{where $ V_1, V_2, V_3 $ are some constant which depend on the specific problem}$$

Ahora necesitas la familia de planos perpendiculares al campo eléctrico, estos son simplemente todos los planos con el vector normal apuntando en la dirección del campo eléctrico: $$\hat{n} = \frac{\left(E_x, E_y, E_z\right)}{\sqrt{\left(E_x^2+E_y^2+E_z^2\right)}}$$

Como ha señalado $$\vec{E} = -\vec{\nabla}V$$ Así que lo que queda por hacer es encontrar $\hat{n}$ : $$ \hat{n} = \frac{\left(\frac{\partial V_x}{\partial x}, \frac{\partial V_y}{\partial y}, \frac{\partial V_z}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\left( \frac{\partial V_x}{\partial x} \right)^2+\left( \frac{\partial V_y}{\partial y} \right)^2+\left( \frac{\partial V_z}{\partial z} \right)^2\right)}} = \frac{\left(V_1, V_2, V_3 \right)}{\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2}}$$ Y la familia de planos viene dada por: $$\hat{n}\cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)=0 , \quad\text{where $ \vec{r}_0 $ is generic.}$$ Finalmente obtenemos $$V_1\cdot x + V_2 \cdot y + V_3 \cdot z = k, \quad k \in \mathbb{R}$$