¿Cómo utilizar el teorema del valor intermedio?

Question

$f(x)$ puede mostrarse como $1 + x^2$ cuando $x\le0, x-2$ cuando $0<x\le2, (x-2)^2$ cuando $x>2$ . Encuentre un intervalo $\left[a,b\right]$ y un valor real $L$ entre $f(a)$ y $f(b)$ pero no existe un número real $c$ que está en el rango $(a,b)$ con $f(c) = L$ . ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor intermedio?

Encontré los lugares discontinuos de $f(x)$ y he dibujado el gráfico. Quiero saber una explicación completa para la pregunta anterior. Por favor, ayúdenme

Answer 1

Una posible opción es dejar que $a=0$ , $b=2$ y $L=\frac12$ .

Observe que $f(a) = 1$ y $f(b) = 0$ y por lo tanto $L$ está en el medio $f(a)=1$ y $f(b) = 0$ .

Ahora, supongamos que $c$ está en $(a,b)$ , $$a<c<b$$ $$0<c<2$$ $$-2<c-2<0$$ $$-2<f(c)<0$$

Por lo tanto, si $c \in (a,b)$ Debemos tener $f(c) <0$ y por lo tanto $f(c) \neq \frac12$ .

El teorema del valor intermedio requiere una continuidad que no se cumple en esta función.

Answer 2

$\lim_\limits{x\to 0^-} f(x) = 1\\ \lim_\limits{x\to 0^+} f(x) = -2\\ $

Elija el intervalo $[-1, 1]$ y lo dividiremos en dos subintervalos sobre el subintervalo $[-1,0)$ la gama de $f(x)$ es $(1,2]$ en el subintervalo $[0,1)$ la gama de $f(x)$ es $[-2,-1)$

a lo largo de todo el intervalo, nunca $f(x) = 0$

$0$ es un valor entre $f(-1)$ y $f(1)$ y no hay $x$ en $[-1,1]$ tal que $f(x) = 0$