Función Lipschitz y continuidad uniforme en la recta real

Question

Dejemos que $\phi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función que satisfaga $\lvert \phi(x)\rvert \geq 1$ para todos los reales $x$ y $\lvert\phi(x) - \phi(y)\rvert \leq \lvert x - y\rvert $ para todos los reales $x,y$ (por ejemplo $\phi(x) = \cos(x)$ ). Sea

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } x = 0 \\ x\phi(\frac{1}{x}) & \mbox{if } x \neq 0 \end{array} \right.$

Demostrar que $f$ es un mapeo uniformemente continuo desde $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Lo tengo. $\phi(x)$ es Lipschitz con una constante de 1. Parece que uno de los teoremas de Carathéodory podría estar involucrado también.

Gracias.

Answer 1

La suposición sobre $|\phi|$ debe ser $|\phi|\le 1$ y no al revés.

La continuidad de $f$ en $0$ se desprende de $\phi$ que está acotado. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en todo intervalo acotado.

En cuanto al comportamiento de $f$ ar $\infty:$ comenzar con $$x\phi(1/x)-y\phi(1/y)\le x(\phi(1/x)-\phi(1/y)) + (x-y)\phi(1/y)$$ donde podemos suponer $|x|\le |y|$ y $|y|\ge 1 $ .

El segundo término, $(x-y)\phi(1/y)$ está limitada por $|x-y|$ .

El primero está delimitado por $$|x|\frac{|x-y|}{|xy|} = \frac{|x-y|}{| y|} \le |x-y|$$

Así, $f$ es $2$ -Lipschitz fuera de $(-1,1)$ .