Es $T(T^2)^{-1}$ un inverso de la izquierda para $T$ ?

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $T:\text{dom}(T)\rightarrow H$ sea un operador autoadjunto cerrado y densamente definido. Supongamos que $T^2: \text{dom}(T^2)\rightarrow H$ tiene una inversa acotada $(T^2)^{-1}:H\rightarrow \text{dom}(T^2)$ .

Aquí $\text{dom}(T^2):=\{u\in\text{dom}(T):Tu\in\text{dom}(T)\}$ .

Pregunta: ¿Se puede concluir que $T$ ¿es invertible? Es decir, ¿existe un operador acotado $T^{-1}:H\rightarrow\text{dom}(T)$ que es un inverso de dos lados de $T$ ?

Lo natural parece ser construir $T^{-1}$ de $(T^2)^{-1}$ y, de hecho, un inverso de la derecha para $T$ es $T(T^2)^{-1}$ . Pero no me queda claro cómo demostrar que también es un inverso de la izquierda, ya que parece que se requiere cierta conmutatividad (e incluso si "lo hicieran" los dominios no tendrían sentido). ¿Quizás se pueda utilizar el cálculo funcional de los operadores autoadjuntos para demostrarlo?

Answer 1

Para $x \in \operatorname{dom}(T)$ tenemos

\begin{align} T(T^2)^{-1}Tx &= T(T^2)^{-1}T \operatorname{id}_H x \\ &= T(T^2)^{-1}TT^2(T^2)^{-1}x \\ &= T(T^2)^{-1}T^2T(T^2)^{-1}x \tag{1}\\ &= TT(T^2)^{-1}x \tag{2}\\ &= x, \end{align} en el que se deja caer el $(T^2)^{-1}T^2$ en el paso de $(1)$ a $(2)$ es válido porque $T(T^2)^{-1}x \in \operatorname{dom}(T^2)$ para $x \in \operatorname{dom}(T)$ .

Así, $T(T^2)^{-1}$ es efectivamente un inverso de la izquierda de $T$ así como su inverso derecho. Además, es un operador cerrado definido globalmente, por tanto, continuo.