Desigualdad de la norma del operador

Question

Si $U$ y $V$ son unitarios $n \times n$ matrices, demuestre que el conmutador $[U,V] := U V U^{-1} V^{-1}$ obedece a la desigualdad

$\displaystyle \| [U,V] - I \|_{op} \leq 2 \| U - I \|_{op} \| V - I \|_{op}$

Tenía muchos problemas con esto y sospecho que hay una solución sencilla. La pista es controlar $\| UV - VU \|_{op}$ . (op indica la norma del operador en todas partes).

Answer 1

Utiliza las siguientes identidades:

1. $UV U^{-1}V^{-1} = (UV -VU)U^{-1}V^{-1}$ .
2. $UV -VU= (U-I)(V-I) -(V-I)(U-I)$ .