Es $6.12345678910111213141516171819202122\ldots$ ¿trascendente?

Question

Mi hijo se afanaba en memorizar dígitos de $\pi$ cuando preguntó si algún poder de $\pi$ era un número entero. Se lo dije: $\pi$ es trascendental, por lo que ninguna potencia entera no nula puede ser un número entero.

Después de cansarse de memorizar $\pi$ se propuso descubrir un nuevo irracional cuya expansión fuera más fácil de memorizar. Inventó (probablemente reinventó) el número $J$ :

$$J = 6.12345678910111213141516171819202122\ldots$$

que claramente te permite nombrar tantos dígitos como quieras con bastante facilidad. Me preguntó si $J$ es trascendental al igual que $\pi$ Y dije que debía serlo, pero que no lo sabía con seguridad. ¿Hay alguna manera fácil de determinar esto?

Puedo demostrar que $\pi$ es trascendental (usando Lindemann-Weierstrass) pero no funciona para números arbitrarios como $J$ No creo.

Answer 1

Este es un número trascendental, de hecho uno de los más conocidos, es $6+$ El número de Champernowne .

Kurt Mahler fue el primero en demostrar que el número es trascendental, una prueba se puede encontrar en su "Lectures on Diophantine approximations", disponible a través de Proyecto Euclides . El argumento (como es típico en este ámbito) consiste en analizar la velocidad a la que los números racionales pueden aproximarse a la constante (véase el apartado "Aproximación por números racionales": De Liouville a Roth" en la entrada de Wikipedia sobre Teoría de la trascendencia ).

Un libro excelente para aprender sobre las pruebas de trascendencia es "Making transcendence transparent: an intuitive approach to classical transcendental number theory", de Edward Burger y Robert Tubbs.

Answer 2

Esto es sólo el Constante de Champernowne más $6$ . Como la constante de Champernowne es trascendental, también lo es este número (como $6$ es, por supuesto, algebraico).