Acabo de enseñar las construcciones imposibles clásicas por primera vez, y al encontrar en mi clase una referencia para la trascendencia de pi, encontré una escasez de pruebas distintas. En particular, las que he leído requieren la existencia de infinitos primos, lo que me parece extraño. ¿Existe alguna prueba conocida que sólo requiera los conocimientos que yo "esperaría", es decir, el cálculo integral para obtener la constante real y las propiedades algebraicas de los polinomios en relación con la suposición de que la constante es algebraica?
Respuestas
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La infinitud de los números primos (más precisamente, la existencia de números primos arbitrariamente grandes) podría ser realmente necesaria para demostrar la trascendencia de $\pi$ . Como expliqué en un respuesta anterior En la actualidad, existen estructuras que satisfacen muchos axiomas de la aritmética pero que no demuestran la ilimitación de los primos o la existencia de los números irracionales. Shepherdson presentó un método sencillo para construir tales modelos, yo presentaré un modelo de este tipo donde $\pi$ ¡es racional!
Los enteros de Shepherdson $S$ consiste en todos los polinomios de Puiseux de la forma $$a = a_0 + a_1T^{q_1} + \cdots + a_kT^{q_k}$$ donde $0 < q_1 < \cdots < q_k$ son racionales, $a_0 \in \mathbb{Z}$ y $a_1,\dots,a_k \in \mathbb{R}$ . Se trata de un dominio ordenado discreto, donde $a < b$ si el término más significativo de $b-a$ es positivo; esto corresponde a hacer $T$ infinitamente grande. Este anillo $S$ satisface los axiomas de inducción abierta $$\phi(0) \land \forall x(\phi(x) \to \phi(x+1)) \to \forall x(x \geq 0 \to \phi(x))$$ donde $\phi(x)$ es una fórmula libre de cuantificadores (posiblemente con parámetros). Así que el anillo $S$ satisface los mismos axiomas básicos que $\mathbb{Z}$ pero sólo una cantidad muy limitada de inducción. En el ámbito de las fracciones de $S$ , $\pi$ es igual a la relación $\pi T/T$ . En otras palabras, $\pi$ ¡es un número racional!
Es $\pi T/T$ realmente $\pi$ ? Los enteros forman un subring de $S$ y si $p,q \in \mathbb{Z}$ entonces $p/q < \pi T/T$ en $S$ si y sólo si $p/q < \pi$ en $\mathbb{R}$ . Así que $\pi T/T$ define el mismo corte Dedekind que $\pi$ hace, lo cual es una descripción muy precisa de $\pi$ . De hecho, cualquier prueba de la trascendencia de $\pi$ debe basarse en última instancia en la comparación de $\pi$ y sus potencias con ciertos números racionales, que $\pi T/T$ cumplirá tan bien como el número real $\pi$ . Sin embargo, las definiciones habituales de $\pi$ no son fácilmente formalizables en esta teoría básica, por lo que hay mucho espacio para el debate aquí y yo no afirmaría que $\pi T/T$ satisface todas las definiciones razonables de $\pi$ . Shepherdson sólo presentó este argumento para números algebraicos reales como $\sqrt{2}$ , que tienen una descripción finita en esta teoría y dejan poco espacio para el debate. En cualquier caso, la conclusión que se extrae de esto es que la aritmética básica con inducción abierta no basta para demostrar que $\pi$ o cualquier otro número real, es irracional (no importa que sea trascendental).
¿Qué pasa con los primos? En el anillo $S$ los únicos primos son los de $\mathbb{Z}$ . Aunque hay infinitos primos en $S$ no es cierto que haya primos arbitrariamente grandes. Por ejemplo, no existen primos mayores que $T$ . Así, $S$ es un modelo en el que falla la ilimitación de los primos y también la irracionalidad de $\pi$ . Esto sólo muestra que la aritmética básica con inducción abierta no es suficiente para demostrar ninguno de los dos resultados. Una posible línea de ataque para mostrar que la no limitación de los primos es necesaria para demostrar la trascendencia de $\pi$ sería demostrar que la cantidad mínima de inducción necesaria para demostrar que $\pi$ es trascendental también basta para demostrar la no limitación de los primos. Desgraciadamente, no sé cuánta inducción es necesaria para demostrar la trascendencia de $\pi$ . (Y la cantidad mínima de inducción necesaria para demostrar la no limitación de los primos sigue siendo un problema abierto).
Pues bien, aquí tenemos una respuesta parcial, que es un poco deprimente. Hay otro dominio Shepherdson $S_0$ similar a la anterior en la que $\pi$ es trascendental sobre $S_0$ y $S_0$ no tiene primos arbitrariamente grandes. Esto demuestra que la trascendencia de $\pi$ no implica la no limitación de los primos sobre la aritmética básica con inducción abierta. El anillo $S_0$ es el subring de $S$ donde los coeficientes del polinomio de Puiseux están restringidos a números algebraicos. La no limitación de los primos falla en $S_0$ porque los números reales algebraicos forman un campo real cerrado al igual que $\mathbb{R}$ . El número $\pi$ es trascendental sobre $S_0$ porque es trascendental sobre el campo de los números algebraicos reales.
Esto no es del todo sorprendente ya que la inducción abierta es una teoría de base muy débil y los anillos de tipo Shepherdson son muy patológicos. Para restringir tales patologías Van Den Dries sugirió exigir que el dominio sea integralmente cerrado en su campo de fracciones; llamó a tales dominios normal pero no sé si esta es la terminología estándar. Tampoco $S$ ni $S_0$ son normales. Ejemplos más convincentes serían los dominios discretos ordenados normales. Los métodos de Macintyre y Marker ( Los primos y sus anillos de residuos en los modelos de inducción abierta , MR1001418 ) sugieren que los análogos normales de $S$ y $S_0$ puede existir.
La conclusión que saco de esto es que la inducción abierta es probablemente una teoría de base demasiado débil para estudiar esta cuestión. Las teorías de base más fuertes se encuentran con la dificultad de que todavía no se sabe qué cantidad de inducción es necesaria para demostrar la no limitación de los primos. El siguiente candidato razonable es la inducción del cuantificador acotado (IΔ 0 ), que no se sabe si implica la no limitación de los primos. Utilizando el producto de Euler $\pi^2/6 = \prod_p (1-p^{-2})^{-1}$ parece prometedor, pero hasta ahora sólo puedo dar sentido a este producto en IΔ 0 + Exp que se conoce para demostrar la no limitación de los primos.
KConrad
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Barry, este post llega un "poco" después de que haya terminado tu clase, pero quiero dirigirte a un artículo sobre el teorema de Lindemann-Weierstrass de Beukers, Bezivin y Robba en la revista Amer. Math. Monthly en 1990: https://www.jstor.org/stable/pdf/2324683.pdf . Dan una prueba del teorema de LW que no implica explícitamente la elección de un número primo auxiliar, y sería un buen ejercicio averiguar qué dice la prueba en el caso especial del número $\pi$ para ver más directamente cómo se demuestra $\pi$ es trascendental, o más generalmente cómo muestra $e^\alpha$ es trascendental cuando $\alpha$ es un número algebraico no nulo (la parte de Lindemann de LW) sin tratar con el escenario más general de un conjunto finito de números algebraicos $\alpha_i$ (la parte de Weierstrass de LW). Como se indica al principio del artículo de Beukers et al., la prueba se inspiró en ideas de $p$ -de los análisis de la situación, pero su documento es una versión simplificada que no tiene ninguna dependencia explícita de $p$ -nociones de adicción.
No estoy de acuerdo con el post que afirma que la infinitud de los primos "podría ser necesaria" para demostrar la trascendencia de $\pi$ . El hecho de trabajar dentro de un marco axiomático que permitir que demuestres la infinitud de los primos no significa que debas requerido hacer eso para lo que quieres, así que todo ese asunto parece irrelevante para responder a tu pregunta. Si estoy demostrando el criterio de irreducibilidad de Eisenstein en $\mathbf Z[x]$ no puedes decirme en serio que yo debe dar un rodeo en medio de la prueba y demostrar $\mathbf Z[i]$ es un dominio euclidiano sólo porque es lógicamente posible con los axiomas que estoy permitiendo. En cualquier caso, creo que el documento al que he enlazado debería resolver tu pregunta de forma afirmativa que estabas buscando.
ACTUALIZACIÓN: La impresión de que se necesitan infinitos primos para demostrar resultados de trascendencia es incorrecta, no porque haya pruebas que lo eviten, como la prueba comparativamente reciente que mencioné antes o pruebas más antiguas que no mencioné, sino porque incluso las pruebas que lo mencionan no lo necesitan realmente. Por ejemplo, mira las dos pruebas de trascendencia de $e$ y $\pi$ aquí (pp. 3-5) y aquí . (En caso de que esos enlaces cambien en el futuro, las pruebas son esencialmente las mismas que las de las páginas 4-6 del libro de Baker "Transcendental Number Theory"). El funcionamiento de las pruebas consiste en que una expresión $J_p$ que depende de un primo $p$ (y algunos datos fijos como una hipotética relación algebraica para que el número se demuestre trascendental) y $J_p$ se demuestra que satisface dos propiedades: (i) una estimación del crecimiento $|J_p| \leq c^p$ , donde $c$ es independiente de $p$ y (ii) $J_p$ es la suma de dos enteros, uno de los cuales es múltiplo de $p!$ y el otro es un múltiplo de $(p-1)!$ que para todos los grandes primos $p$ es no un múltiplo de $p!$ Así que $J_p$ es un múltiplo entero de $(p-1)$ Es decir no cero . Por lo tanto, $|J_p| \geq (p-1)!$ lo que contradice la estimación del crecimiento en (i) ya que no podemos tener $(m-1)! \leq c^m$ para grandes $m$ . ¿Cómo es la primalidad de $p$ ¿realmente se usa? Su único propósito es ser un número arbitrariamente grande que es relativamente primo de un par de enteros específicos no nulos. Pero no es necesario depender de los números primos para conseguirlo: si quieres un número entero enorme $m$ relativamente primo de dos enteros no nulos $a$ y $b$ , solo toma $m = |ab|M + 1$ para un número entero enorme $M$ . Así que se puede trabajar con números en una progresión aritmética de este tipo en lugar de un número primo grande $p$ en la prueba. (Personalmente también pasaría al entero $J_m/(m-1)!$ por lo que los límites $0 < |J_m/(m-1)!| \leq c^m/(m-1)!$ conducen a la "ausencia de enteros entre $0$ y $1$ " contradicción una vez $c^m/(m-1)!< 1$ pero eso es cuestión de gustos).
Por supuesto, la idea de crear números relativamente primos a determinados números tomando un múltiplo de su producto y sumando $1$ es la idea principal de la prueba de Euclides de la infinitud de los primos, así que no estamos obviando un método que pueda llevar a infinitos primos, sino que estamos obviando cualquier necesidad de números primos en la prueba que los utiliza.
La idea de utilizar un primo grande en las pruebas de la trascendencia de $e$ y $\pi$ se debe a Hurwitz, que añadió este detalle a una prueba de Hilbert que se basa en las propiedades de divisibilidad pero no en los primos. Mahler habla de ello en su Springer Lecture Notes in Math "Lectures on Transcendental Numbers" (1976). El volumen está disponible en línea aquí Y aunque la mayoría de los capítulos están detrás de un muro de pago, la última parte, llamada "Back Matter", no lo está, y esa es la parte que nos interesa. Mahler presenta la prueba de Hilbert a partir de la página 237. En la p. 243 menciona la idea de Hurwitz de utilizar un primo en lugar de un número en una progresión aritmética simplemente construida y explica por qué piensa que este enfoque "aparentemente más simple" de Hurwitz no es en realidad una buena idea.
thattolleyguy
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Recomiendo el libro Números irracionales de Ivan Niven, una de las monografías de M.A.A. Carus y disponible en edición de bolsillo. Demuestra la irracionalidad de $\pi$ y $\pi^2$ mucho antes, luego muestra que $\pi$ también es trascendental con el teorema de Lindemann, capítulo 9. Me gusta mucho este libro.
Como sabes por haber impartido tu clase, la imposibilidad de las construcciones de compás y regla no necesita ni de lejos todo el peso de la trascendencia, simplemente que la constante asociada no se encuentre en una torre de campos que exprese la idea de sacar raíces cuadradas, véase
o el Apéndice C en Galois Theory de Joseph Rotman, donde utiliza "sólo la teoría de campos elemental; no se requiere la teoría de Galois". Sin embargo, de acuerdo con su queja, debo admitir que no conozco personalmente ninguna prueba que demuestre $\pi$ no se encuentra entre los "números construibles", excepto para las pruebas de trascendencia.
Jack Senechal
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Mi opinión es similar a la de Barry: la infinitud de los primos puede no ser necesaria. Por ejemplo, en el capítulo 2 del libro de Niven Números irracionales También utilizó la infinitud de los primos para demostrar que el cos(r) es irracional para r racional no nulo. Pero nuestra prueba reciente ( Mensual, abril/2010, 360-362 (mencionada antes por Will Jagy) no lo necesita en absoluto. Por cierto, nuestra prueba (de media página) puede sustituir más o menos todo el capítulo 2 del libro de Niven (excepto la trascendencia de e).
