Condición tal que $ax + by = c$ con coeficientes reales tiene exactamente una solución entera

Question

¿Qué condiciones deben $a,b \in \mathbb R$ satisfacer para que $$ax + by = c, \; c \in \mathbb R^*_+$$ tener exactamente una solución entera $(x_0,y_0)$ ?

Answer 1

En primer lugar, tenemos $c=ax_0+by_0$ y $(a,b)\not=(0,0)$ .

Si $b=0$ la línea $x=c/a$ pasa por ningún punto de la red o por infinitos puntos de la red.

Así que, como tenemos $b\not=0$ tenemos $$y-y_0=-\frac{a}{b}(x-x_0).$$ Para $x\not=x_0$ tenemos $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=-\frac{a}{b}.$$ Si $-a/b$ es racional, entonces existen infinitos conjuntos de enteros $(x,y)$ donde $x\not=x_0$ . Si $-a/b$ es irracional, entonces no existe ningún conjunto de enteros $(x,y)$ donde $x\not=x_0$ .

Por lo tanto, la condición que se busca es que $-a/b$ es irracional.