Grado de la suma de números algebraicos

Question

Esta es una pregunta elemental (viniendo de un estudiante de grado) sobre números algebraicos, a la que no tengo una respuesta completa.

Dejemos que $a$ y $b$ sean números algebraicos, con grados respectivos $m$ y $n$ . Supongamos que $m$ y $n$ son coprimos. ¿El grado de $a+b$ siempre igual $mn$ ?

Sé que la respuesta es "sí" en los siguientes casos particulares (puedo dar detalles si es necesario) :

1) El máximo de $m$ y $n$ es un número primo.

2) $(m,n)=(3,4)$ .

3) Al menos uno de los campos $\mathbf{Q}(a)$ y $\mathbf{Q}(b)$ es una extensión de Galois de $\mathbf{Q}$ .

4) Existe un primo $p$ que es inerte en ambos campos $\mathbf{Q}(a)$ y $\mathbf{Q}(b)$ (si $a$ y $b$ son enteros algebraicos, esto equivale a decir que los polinomios mínimos de $a$ y $b$ siguen siendo irreducibles cuando se reducen modulo $p$ ).

También puedo dar la siguiente reformulación del problema: dejemos $P$ y $Q$ sean los respectivos polinomios mínimos de $a$ y $b$ y considerar el polinomio resultante $R(X) = \operatorname{Res}_Y (P(Y),Q(X-Y))$ que tiene el grado $mn$ . ¿Es cierto que $R$ tiene raíces distintas? Si es así, debería ser posible demostrarlo reduciendo modulo algún primo, pero ¿cuál?

A pesar de los resultados parciales, estoy perdido sobre el caso general y agradecería mucho cualquier ayuda.

[EDIT : La pregunta está ahora completamente contestada (ver abajo, gracias a Keith Conrad por proporcionar la referencia). Nótese que en el artículo de Isaacs hay, de hecho, dos pruebas del resultado, una de las cuales sólo está esbozada pero utiliza la teoría de la representación de grupos].

Answer 1

La siguiente respuesta me fue comunicada por Keith Conrad:

Ver:

M. Isaacs, Grado de sumas en una extensión de campo separable, Proc. AMS 25 (1970), 638--641.

http://math.uga.edu/~pete/Isaacs70.pdf

Isaacs muestra: cuando $K$ tiene la característica $0$ y $[K(a):K]$ y $[K(b):K]$ son relativamente primos, entonces $K(a,b)$ = $K(a+b)$ que responde a la pregunta de los estudiantes en el afirmativa. Su prueba muestra que la misma conclusión es válida bajo la suposición más débil de que

$[K(a,b):K] = [K(a):K][K(b):K]$ .

ya que Isaacs utiliza la hipótesis de primalidad relativa de los grados sólo para obtener la fórmula de grados anterior, lo que puede ocurrir incluso en casos en los que los grados de $K(a)$ y $K(b)$ en $K$ no son relativamente primos.

Answer 2

Un contraejemplo para demostrar que este resultado no se extiende a la característica $p$ : Dejemos que $K= \mathbb{F}_p(s,t)$ la extensión trascendental de rango dos de $\mathbb{F}_p$ . Sea $\alpha$ y $\beta$ sean raíces de $$\alpha^{p-1} - s=0$$ $$\beta^p - s \beta - t=0.$$

Entonces $\alpha$ y $\beta$ tienen títulos $p-1$ y $p$ en $K$ . El elemento $\alpha + \beta$ obedece a $$(\alpha+\beta)^p - s (\alpha+\beta) - t=0.$$

Answer 3

Para aquellos que quieran leer la prueba de Isaac -mencionada en la respuesta de Pete- en el lenguaje de Molière y Bourbaki, está la obra de François Brunault exposición .

Apéndice (30/01/2011). Hoy me he encontrado con el siguiente artículo relacionado de Weintraub en el Monatshefte .

Answer 4

Lo que sí es cierto es que esta afirmación (de hecho, una más general) se mantiene sobre un campo finito (véase Brawley, J. V., Carlitz, L. Irreducibles y el producto compuesto para polinomios sobre un campo finito. MR0893074 (89g:11118)). En char=0, sin embargo, no tengo una buena referencia, aunque siempre he pensado que también debería ser cierto (quizá Brawley y Carlitz tengan pistas al respecto, pero no tengo acceso a su artículo: Irlanda parece luchar contra la recesión descargando las suscripciones en línea a las revistas académicas)...