Me pregunto acerca de Kapranov del "Analogías entre Langlands Correspondencia y topológica de la QFT". Me gustaría leer una descripción más detallada de la exposición y de cómo uno se convierte en esa analogía en concreto conjeturas. ¿Existen textos de los cursos o seminarios sobre eso? Tiene este libro por Ikeda ya se han publicado y revisado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay notas de más reciente (2000) conferencias de Kapranov sobre el tema en mi página web.
A pesar de esto, hasta donde yo sé, no hay ningún argumento convincente en este punto que no debe ser un general de dimensiones superiores Langlands teoría. ¿Qué podemos aprender de los físicos es que uno puede esperar de profundidad dualidades para superficies algebraicas y threefolds, pero probablemente no en general. Y también nos enteramos de que la forma de estas dualidades no será una es probable adivinar a partir de analogías con curvas y con las dimensiones superiores de la clase de teoría del campo, pero para que la teoría de cuerdas es una gran guía. Una forma de explicar esto es que ahora (después de 2005) entienden que la geométrica Langlands es un aspecto de cuatro dimensiones topológicas campo de la teoría (más específicamente, máximo supersimétricas teoría de gauge) — por lo que uno debería buscar de dimensiones superiores análogos de esto, y son muy pocos y muy especial.
Quizás el principal problema en la toma directa de las generalizaciones (que Kapranov direcciones), es la gran complejidad en la descripción de Hecke álgebra de operadores en las dimensiones superiores — de hecho esta es una de las zonas más bonitas de la investigación actual, bajo el nombre de Sala de Álgebras (cf obra de Joyce, Kontsevich-Soibelman y otros). Resulta que la Sala de álgebras de dimensión 3 (Calabi-Yau) variedades tienen una muy rica la representación teórica de la estructura, que (después de la reducción dimensional a las superficies o curvas) resume gran parte de la clásica teoría de la representación geométrica y Langlands etc.
En cualquier caso, lo más emocionante de todo como lo que me refiero es un 6-dimensional supersimétricas la teoría de campo (que carece de un buen nombre — se llama el (0,2) la teoría o el M5 teoría de branas) que parece envolver todo lo que sabemos en todos los ejemplos anteriores. Es la teoría conforme de campos, y "explica" Langlands dualidad simplemente como el SL2(Z) conformación de simetría de tori (cuando se considera que en R^4 veces un toro). Uno puede esperar de esta teoría a llevar a un interesante Langlands-como el programa para superficies algebraicas, que incluye, en particular, los interesantes trabajos recientes en esta dirección de Braverman-Finkelberg (arXiv:0711.2083 y 0908.3390).
Debo mencionar también que desde Kapranov de papel, ha habido un montón de trabajo, por Kazhdan, Braverman, Gaitsgory y Kapranov en particular, en la teoría de la representación de mayores dimensiones de los campos de la región — es sólo que no hay todavía una clara Langlands tipo de imagen para este. De nuevo uno debería esperar algo especial para pasar por las superficies, de los cuales tenemos muchos destellos — en particular, la bella teoría de Cherednik doble afín Hecke álgebra y su transformada de Fourier, la cual, creo, es aceptado como una clara alusión a un Langlands imagen para superficies. Pero, en cualquier caso, creo firmemente que la evidencia actual indica que debe ser el aprendizaje de la física, de la lectura de documentos por Gaiotto etc, para averiguar lo que debe suceder para que las superficies en lugar de simplemente creer que debemos tratar de extrapolar a partir de lo que sabemos de las curvas.
